Innføring i uoppstilte likninger

Omforme en praktisk problemstilling til en likning, løse den og vurdere hvor gyldig løsningen er.

Dette opplegget er hentet fra heftet: Undersøkende matematikk - undervisning i videregående skole

Tellebrikker, kopieringsoriginal

Arbeidsform

La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. Elevene skal skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler.

Undervisningsopplegget

Her er oppgavene til dette undervisningsopplegget presentert med kommentarer til læreren. Elevene skal arbeide med oppgavene i par. Oppgavearket finner du som kopieringsoriginal.
Før du gjennomfører opplegget er det viktig at du tenker nøye gjennom hvilke spørsmål eller hint du kan gi til elevene dersom de får problemer. Ikke gi elevene svarene. Opplegget forutsetter at læreren ikke forteller elevene hvordan de skal sette opp likningene. La elevene slite en stund før du gir direkte hjelp. Tenk også over hvordan du kan få i gang en diskusjon i oppgave 5.

Film

1) Du skal bruke 10 brikker til å lage 3 kolonner slik at:

• den røde kolonnen inneholder 3 flere enn den blå kolonnen
• den grønne kolonnen inneholder 1 flere enn den blå kolonnen
La brikkene/kolonnene ligge til oppgave 5.

2) Løs oppgaven ved hjelp av likninger.

Kommentar til læreren
Her er det viktig at elevene finner egne måter å sette opp likningene på. Noen elever vil sannsynligvis bruke x, y og z for de ukjente, andre vil bruke r, g og b, mens noen kanskje vil skrive rød, grønn og blå. Det er viktig at elevene innser at de ikke alltid må bruke x, y og z, men at de kan bruke bokstaver som er logiske i forhold til oppgaven. Om de bruker r, g og b kan det være lettere for mange elever å forstå hva likninger egentlig er.

Du kan gjerne stille gode spørsmål og gi hint til elever som vil ha hjelp og som du vet sliter med matematikk. Vent i det lengste med å gi dem direkte hjelp. Hvis du ser at flinke elever strever med oppgaven, så la dem holde på en stund før du gir dem hjelp. Våre erfaringer er at de som regel finner ut av det selv til slutt.

3) Bruk 10 brikker til å lage 3 kolonner slik at:
• den blå kolonnen inneholder 3 færre enn den røde kolonnen
• den grønne kolonnen inneholder 2 færre enn den røde kolonnen
La brikkene/kolonnene ligge til oppgave 5.

4) Løs oppgaven ved hjelp av likninger.

Kommentar til læreren
Disse oppgavene har litt høyere vanskelighetsgrad enn oppgave 1 og 2.

5) Sammenlikn kolonnene og likningsuttrykkene fra oppgave 1 og oppgave 3.
Forklar hva du ser og hvorfor.

Kommentar til læreren
Elever tror ofte at når de skal omforme praktiske situasjoner til likninger, så er det bare en måte å velge x (den ukjente i likningen) på. De stiller ofte følgende spørsmål: "Hva skal jeg velge som x?", "Har jeg valgt riktig x?" Vi vil at elevene, gjennom å gjøre disse oppgavene, skal forstå at hva de velger som x, ikke er avgjørende for å løse oppgaven. De vil få samme løsning uansett. selvfølgelig vil det i enkelte oppgaver være hensiktsmessig å velge en bestemt ukjent som x, men et av målene i dette opplegget er å vise at sammenhengen mellom de ukjente er konstant, uavhengig av hva de velger som x.

6) Bruk 13 brikker til å lage 3 kolonner slik at
• den røde kolonnen inneholder 2 flere enn den blå kolonnen
• den grønne kolonnen inneholder 3 færre enn den røde kolonnen

7) Løs oppgaven ved hjelp av likninger.

Kommentar til læreren
Disse oppgavene har høyere vanskelighetsgrad enn de tidligere oppgavene, da vi ikke tar utgangspunkt i den samme fargen i begge setningene.

8) Bruk 12 brikker til å lage 3 kolonner slik at
• den røde kolonnen inneholder 2 flere enn den blå kolonnen
• den grønne kolonnen inneholder 3 færre enn den røde kolonnen

9) Lag minst to liknende oppgaver selv.

Kommentar til læreren
Det finnes ingen heltallig løsning på oppgave 8. siden dette er en praktisk problemstilling,
finnes det ikke en løsning på oppgaven. La elevene forklare (bevise) at det ikke finnes en
løsning ved å bruke brikkene. Du kan utfordre de flinke elevene til å vise at det ikke finnes en
heltallig løsning ved regning.

Forberedelse til oppsummering
På hvilke måter har elevene løst den praktiske delen av oppgaven? Har de brukt ulike strategier? Snakk med elevene og hør hvordan de tenkte da de løste den praktiske delen av oppgaven. Gjør tilsvarende med den teoretiske delen av oppgaven.

Be elevene forklare hvorfor det ikke finnes noen løsning på oppgave 8. Hvis noen elever mener at løsningen deres er gyldig, la dem begrunne det. Diskuter gjerne dette med gyldighet av løsninger.
Hvis du ser at noen elever har gjort noe du gjerne vil at de andre elevene skal få innblikk i, kan du avtale med dem på forhånd at de skal komme til tavla under oppsummeringen.
Dette er et viktig grep, spesielt dersom elevene ikke er vant til å presentere løsningene sine i plenum. Det kan føles tryggere for elevene når de på forhånd vet at de skal komme til tavla, og når de vet hva læreren ønsker at de skal presentere. om du avtaler med noen elever på forhånd sikrer du også at ulike metoder og strategier blir vist under oppsummeringen.

Felles oppsummering og diskusjon
Ta utgangspunkt i elevenes løsninger og det du har observert når du har gått rundt i klasserommet.

Praktisk del

• La elevene vise hvordan de løste den praktiske delen av oppgaven på overhead. Hvilke strategier har de brukt? La dem forklare selv. Har de valgt en bestemt strategi, eller har de prøvd og feilet?

Teoretisk del

• La elevene vise hvordan de løste de teoretiske oppgavene. Diskuter eventuelle ulike oppsett av likninger. La elevene forklare hvordan de har tenkt.
• I oppgave 5 vil elevene se at de får de samme kolonnene som i oppgave 1 og oppgave 3, og dermed samme svar på likningene. er likningene de samme? Hvordan er dette mulig?
• Mange elever tror at når man skal stille opp likninger, så er det bare en riktig måte å gjøre det på. Oppgaven over viser at det er mange måter å stille opp likninger på for det samme problemet.
• Hvorfor finnes det ikke noen løsning på oppgave 8? Kan elevene forklare det på forskjellige måter?

Utvidelse

• Det er viktig at elevene arbeider med oppgaver fra læreboka i etterkant av opplegget. Elevene kan få i lekse å løse noen av oppgavene de har laget selv.

Flere filmer fra heftet Undersøkende matematikkundervisning finner du her.