Den største romben

Skrevet av Mike Naylor, 23. mars 2015

Kan du klare denne "enkle" oppgaven?

rhombikon

Hva er den største romben du kan brette fra et  A4-ark? Denne oppgaven høres veldig enkel ut, men er ganske utfordrende og løsningene bruker flere store ideer fra geometri og algebra.

En rombe er en firkant med 4 like lange sider. Her er noen rombe-egenskaper som kanskje kan være nyttige:

  • Romber er parallelogrammer. (Parallelogrammer er ikke nødvendigvis romber, et rektangel for eksempel er ikke en rombe med mindre rektangelet er et kvadrat).
  • Diagonalene i en rombe krysser på midpunktene av hverandre og treffer i en 90° vinkel

Det er også nyttig å kjenne til at A4 papir har forholdet 1:√2 mellom sidelengdene – disse lengdene kan brukes i forskjellige regnestykker som kan dukke opp mens vi utforsker oppgaven.

rombe 1

Prøv å tenke litt på problemet før du leser videre. Hvordan ville du løse problemet?

Første tanke

En enkel måte å lage en rombe fra et ark papir er å brette vannrett og loddrett på midten for å finne midpunktene til sidene, og da bruke disse midpunktene som hjørnene til en rombe slik:

rombe 2

Dette er en kjempefin rombe. Kan du lett finne arealet? Det er halvparten av arealet til hele arket. (Denne romben har også form av en flate av et rombisk dodekaeder, en interessant 3d form!)

Her er en rombe som enda lettere å brette:

rombe 3

Brett kant mot kant for å lage en 45° vinkel og finne den fjerde siden til kvadratet. Et kvadrat er en rombe, derfor har vi laget en rombe. Er arealet til denne romben størrer enn arealet til den første romben?

Største

Vi kan få en enda større rombe. Ideen er at romben må passe på arket slik:

rombe 4

Denne ideen er bare halveis til løsningen. Hvordan kan vi brette papiret for å lage romben?

Hvis vi bretter arket slik at motsatte hjørner treffer hverandre, lager vi en brett som viser oss nøyaktig hvor hjørnene til romben er. Brett romben og åpne og lukk arket et par ganger for å se hvordan sidene treffer hverandre.

rombe 8

rombe 5

Ved bruk av diagonalene til romben kan vi tydelig se geometrien. Bretten fra hjørne til hjørne lager en diagonal til rombe. Den korte diagonalen er nøyaktig midt mellom hjørnene og må treffe den lange diagonalen med 90° – kan du forklare disse egenskaper basert på konstruksjon metoden? 

En overraskelse fra klasserommet

Jeg hadde ei jente i vgs som løste oppgaven på en annen måte. Hun brettet arket i firedeler og brukte firedeler for å finne hjørnene til romben slik:

rombe 6

Det så veldig likt ut som den andre romben. Er det den samme? Vi måtte regne!

Toppsiden til romben var lett å finne. Det er bare 3/4 sidelengden, eller 3/4 * √2. Den andre siden kan finnes ved bruk av Pytagoras' setning.

rombe 7

Hva synes du? Rombe eller ikke?

Tips en venn


Postadresse:
Matematikksenteret, NTNU
7491 Trondheim
Besøksadresse:
Gløshaugen,
Realfagbygget, A4
Telefon og epost:
73 55 11 42
ms@matematikksenteret.no
Kjernetid:
09.00-15.00

Personvernerklæring