Rombisk dodekaeder I

Skrevet av Mike Naylor, 14. april 2015

Fascinerende polyeder med artige regninger

Hva er ditt yndlingspolyeder? Vanskelig å velge bare étt, det er så mange med interessante egenskaper! Et av mine topp 3 er det rombiske dodekaederet. I dag skal vi se på matematikken i denne formen. Neste uke skal vi se hvor den finnes i naturen, og se på noen artige aktivteter med papirbretting vi kan gjøre med formen.

Et rombisk polyeder har 12 rombiske flater. Jeg liker å tenke på dette som en kube hvor vi har lagt til pyramider på hver flate slik at flatene til hver pyramide er på det samme planet som flatene til pyramidene på tilstøtende flater av kuben. Det kan hjelpe oss å forstå strukturen til dette polyederet når vi tenker på denne kuben som er gjemt inni.

rombisk dodekaeder fra en kube 

Her er noen gode spørsmål å utforske:

  • hva er forholdet mellom diagonalene til en rombe?
  • hva er sidelengdene og vinklene til romben?
  • hva er forholdet mellom volum til det rombiske dodekaederet og kuben som ligger inni?
  • hvis vi tegner alle korte diagonaler kan vi se kuben. Hva med hvis vi i stedet tegner alle lange diagonaler - hva får vi?

 

Diagonaler

Vi kan si at kuben ha sidelengde 1. Da er den korte diagonalen til romben også 1. For å regne lengden til den lange diagonalen kan vi se på dodekaeder normal til en kubeflate som er vist under. Rombene treffer kubekantene på 45°, og plutselig kan vi se at regnestykket er ganske lett. Ved bruk av Pytagoras setning, eller kunnskapen om forholdet mellom sidelengden og lengden til diagonalen av en kvadrat (1:√2), kan vi rask finne at den lange diagonalen til romben er √2. Et veldig fint tall!

rd regning 

Sidelengder

Ved bruk av Pytagoras setning kan vi da finne at sidelengden til romben er √3 / 2. Romben innholder derfor √1, √2 og √3. 

 

Vinkler

Vinklene kan regnes med trigonometri på mange forskellige måter, og de er cirka 70,53° og 109,47°. Her er en artig måte å regne på. Her er halvparten av romben. Vi har tegnet den 2 ganger så stor for å gjøre brøkene enklere.

 rd vinkel regning

Vi ønsker å finne 2B, som er den mindre vinkelen i romben. Vi kan bruke en av de dobbelte vinkel identitetene: cos(2B) = 1 – 2sin2(B).

       sin(B) = 1/√3

       sin2(B) = 1/3

       2sin2(B) = 2/3

       1 – sin2(B) = 1 – 2/3 = 1/3

Derfor er en vinkel av romben lik arccos(1/3), et fint resultat! Kan du finne en like god verdi for den andre vinkelen i romben ved bruk av en dobbelt vinkel indentitet med A?

Volum

Volumet er særlig interessant. Legg merke til at høydene til pyramidene er 1/2. Dette betyr at disse pyramidene er de samme som pyramidene snudd innvendig i kuben, med topp-punktene i sentrum. Vi kan derfor dele en kube i seks pyramider og lime dem til en lik kube for å lage dette rombiske dodekaederet. Dodekaederet har nøyaktig 2 ganger volumet til kuben! Så tøft!

eksploderte kube

Relaterte former

Vi så tidligere at korte diagonaler er kantene til en kube. Hva med lange diagonaler? De er kantene til et regulært oktaeder! Dette betyr at vi kunne ha begynt med et oktaeder og laget pyramider på flatene for å lage akkurat den samme formen! (Hva er volumet til okatederet?) 

kube og oktaeder i rd

Hvis vi kobler sentrumene til rombene til sentrumene til tilstøtende romber, får vi en annen fin form: et kuboktaeder. Kuboktaedre har 6 kvadratiske flater (som en kube) og 8 trekantflater (som et oktaeder). Kuber og oktaedre har mange relaterte egenskaper, og kuboktaedre og rombiske dodekaedre er to former som viser noen av disse relasjoner veldig godt.

kuboktaeder i rd

Hvis vi utvider flatene til et rombisk dodekaeder kan vi lage en stellasjon som ser ut slik:

stjerne rhombisk dodekaeder 

M.C. Escher har inkluderte denne formen i flere av sine bilder. Den er sentral i “Stars” (1948), og en av dem ligger på toppen av en tårn i hans berømte tegning “Waterfall” (1961).

Escher_Stars     Escher waterfall

 

Space filling

Rombiske dodekaeder kan pakkes tett sammen for å fylle 3d rom. Det finnes ikke så mange “vanlige” polyeder som kan gjøre det. Det er lett å visualisere kuber pakket sammen for å fylle rom som et 3d sjakkbrett. Tenk på rom fylt med kuber slik. Del så hver annen kube i 6 pyramider og fest dem til de andre kubene uten å flytte dem. Nå er rommet fylt med rombiske dodekaedre!

honeycomb

En annen form som kan fylle rom? Det stjerne-rombiske dodekaederet! Utrolig! He er et bilde av 5 av disse former sett sammen. (Formene og bildet er laget av matematiske kunstner George Hart.)

rd tett pakking

Neste gang

Neste uke skal vi se hvor rombiske dodekaedre finnes i naturen (også i Norge!) og se på noen artige papir-bretteaktiviteter vi kan gjøre med rombiske dodekaedre. Jeg håper at det rombiske dodekaederet snart også er et av dine yndlingspolyedre!

Tips en venn


Postadresse:
Matematikksenteret, NTNU
7491 Trondheim
Besøksadresse:
Gløshaugen,
Realfagbygget, A4
Telefon og epost:
73 55 11 42
ms@matematikksenteret.no
Kjernetid:
09.00-15.00

Personvernerklæring