Figurtall, følger og rekker – Tårn

Finne et mønster, beskrive hvordan mønsteret vokser.

Dette opplegget er hentet fra heftet Undersøkende matematikkundervisning i videregående skole II.

Centikuber eller terninger og oppgaveark.

Elevene arbeider parvis. De jobber seg gjennom oppgavearket, målet er å finne frem til algebraiske uttrykk ved hjelp av konkreter.

• Bygg et tårn med terninger, det vil si at du setter terningene opp på hverandre. Tell antall
  synlige sider og noter svaret i tabellen.
• Prøv å finne en sammenheng mellom antall terninger og antall synlige sider. Noter
  sammenhengen med ord.
• Bruk denne sammenhengen for å finne antall synlige sider i flere tårn.
• Klarte du å finne løsningen med regelen du har skrevet i boksen over, eller måtte du endre noe for å finne antall sider i høye tårn? Noter den nye regelen.

Oppgave 2

• I denne oppgaven gjør du det samme som i oppgave 1, men nå teller du sidene som ikke synes.
• Prøv å finne en sammenheng mellom antall terninger og antall ikke-synlige sider. Noter
  sammenhengen med ord.
• Bruk denne sammenhengen for å finne antall ikke-synlige sider i flere tårn.
• Klarte du å finne løsningen med regelen som du har skrevet i boksen over, eller måtte du endre noe for å finne antall ikke-synlige sider i høye tårn? Noter den nye regelen.

Kommentar til læreren
I starten vil mange elever bare finne ut økningen fra figur til figur, dvs. den rekursive formelen. Elevene er gjerne fornøyde med å ha funnet et svar eller, som de gjerne tror, svaret. Derfor blir de utfordret til å finne svar for store tall i den neste tabellen. Hvis de skal finne antall sider ved et stort antall terninger, må de revurdere strategien, og de fleste vil etter hvert komme frem til én eksplisitt formel.
Når elevene har kommet frem til en løsning, er det viktig at alle løsningene, også uriktige, noteres på tavlen. Elevene som presenterer sin løsning skal redegjøre for tenkemåten muntlig. Spør gjerne de andre elevene om de har forstått hvordan denne gruppen tenkte.

Eksempler på elevsvar
• Antall synlige sider

Noen svar kan være feil, men det er god læring i å diskutere hvorfor de er feil. Når man har rettet
opp eventuelle feilsvar, er det viktig å presisere at alle de ulike uttrykkene er riktige, og at alle viser en god måte å tenke på. For å bekrefte at alle svarene er riktige, må man ta seg tid til å omforme de ulike uttrykkene og vise at de har den samme verdien. Det er heller ikke slik at den ene tenkemåten er bedre enn den andre, men vi kan si noe om hvor viktig det er å kunne forenkle algebraiske uttrykk.

UTVIDELSE AV OPPGAVEN

Det finnes mange elever som har vanskeligheter med å finne eksplisitte formler. I og med at
modellering er viktig, spesielt i 2P, må elevene ha mye trening i dette. Det hjelper å jobbe med
forskjellige representasjoner. Vi har brukt representasjonene konkreter, tabell og formel. For å vise det
på enda flere måter, kan vi utvide med grafisk representasjon. Regresjon med digitalt hjelpemiddel er
en god vei til bedre forståelse, spesielt for elever som ikke klarer å finne den eksplisitte formelen.
I GeoGebra skriver man verdiene fra tabellen på arket inn i regnearket og velger regresjonsanalyse.
NB: Vi anbefaler at innholdet i regresjonsvinduet kopieres over i grafikkfeltet på grunn av den uvanlige
stillingen av koordinatsystemet i regresjonsvinduet.
I funksjonsuttrykket vi får, finner vi igjen 4-tallet fra «det øker med 4» som stigningstall i
funksjonsuttrykket. Dette gir økt forståelse av begrepet «stigningstall», samtidig som det viser at ulike
emner i matematikk henger sammen.
Konstantleddet blir derimot en mer teoretisk diskusjon for interesserte elever. Hvor mange sider ser vi
hvis vi ikke har noen terning? Funksjonens gyldighetsområde er x ≥ 1.

UTVIDELSE AV OPPGAVEN (vis GeoGebra-hjelp)

Åpne regnearket ved å velge Vis i øverste menylinje og Regneark. Skriv inn tallene fra tabellen (Kopieringsoriginal s.89).

Marker området hvor tallene står og velg Regresjonsanalyse, rute nr. 2 fra venstre i verktøymenyen. Du får opp et lite vindu hvor du velger Analyser.

Da får du et punktdiagram i et eget vindu. Under Regresjonsmodell, nederst i vinduet, velger du Lineær. Da blir grafen gjennom punktene tegnet og funksjonsuttrykket, y = 4x +1, kommer opp.

Hold pekeren i feltet med grafen og høyreklikk. Velg Kopier til grafikkfelt, - da blir grafen tegnet i grafikkfeltet hvor y-aksen ikke er avkortet.

For å skrive navn på aksene kan du klikke på «tannhjulet» øverst til høyre og velge Grafikkfelt. Da får du opp et vindu hvor du kan velge xAkse og yAkse i fanene øverst og skrive det du ønsker under Navn på aksen.

FLERE UTVIDELSER
Elevene oppfordres til å bygge egne figurer, f.eks. tårn med 2 terninger ved siden av hverandre, rekker
av terninger eller rammer av terninger.