Nykomlingen!

Skrevet av Anne-Gunn Svorkmo, 18. november 2016

Arbeid med utfordrende kenguruoppgaver i fellesskap.

thumb3378

Denne artikkelen ble først publisert i Tangenten nr 2/2016.
Les mer på Kengurusidene.

En nykomling er i denne sammenhengen en oppgave eller en oppgaveidé som tidligere ikke har vært med i Kengurukonkurransen. Jeg har vist fram og diskutert oppgaven med flere kolleger, og mange av dem har heller ikke løst en slik oppgave. Så det er kanskje ikke bare i kengurusammenheng at dette er en nykomling. Har du sett oppgaven nedenfor eller noe som ligner tidligere?

kengurublogg_2_1

Når en litt annerledes og noe ukjent oppgavetype dukker opp, er det interessant å observere egen tilnærmingsmåte. Hvordan starte? Er det mulig å resonnere seg fram til en løsning eller må man regne? I oppgaven spørres det ikke etter hvor stor den største sirkelen er, men bare hvilken av de fem sirklene som er størst. Hvilke spørsmål kan dukke opp underveis? Er det flere måter å løse oppgaven på? Er det én eller flere mulige løsninger? Hva hvis…?

 

kengurublogg_2_2
kengurublogg_2_3

En første tilnærming kan være «gjett og sjekk» eller at jeg eventuelt formulerer en hypotese. Hvis du skulle gjettet, hvilket hjørne ser du for deg at den største sirkelen kan tegnes? I hjørne A, B, C, D eller E? Hvorfor? Begrunn og forklar.

En hypotese kan for eksempel være: Jeg tror at sirkelen i hjørne C, kaller sirkelen for c, er den største av de fem sirklene. En begrunnelse kan være at CD har den lengste sidelengden i femkanten og sidelengden til BC er lengre enn sidelengden til DE.

GeoGebra egner seg til å sjekke ut om hypotesen stemmer. Etter å ha tegnet fire sirkler i hvert sitt hjørne, ser jeg at hypotesen ikke kan stemme. Jeg ser også at en femte sirkel, sirkel e, ikke vil passe inn før jeg har justert på sirklene (Fig.1). Avstanden fra hjørne E til sirkellinja til sirkel d er ikke like lang som avstanden fra E til sirkellinja a. For å kunne tegne den siste sirkelen, sirkel e, må sirkel d gjøres mindre og sirkel a større. Når sirkel i a blir større må både sirkel i b og d bli mindre. Sirkel c blir nå større. Når jeg tilpasser sirklene, ser jeg hva som skjer. Det er sirkelen i hjørne A som blir den største (Fig.2)!

Jeg har funnet en løsning ved prøving og feiling, men oppgaven må være mulig å løse på andre måter?

Hva hvis jeg sammenligner størrelsene på radien til de fem sirklene? Jeg kaller radius i sirkelen med sentrum i A for a og gjør tilsvarende for de andre sirklene. Radien i sirkel a og b er 16 til sammen, dvs. a+b=16. Videre er:

  • b+c=14
  • c+d=17
  • d+e=13
  • e+a=14.

Ettersom a+b= 16 og b+c= 14 så må a>c. På samme måte kan jeg si at d>b, c>e, a>d og b>e som igjen betyr at a>d>b og a>c>e. Konklusjonen er at radius a dvs. sirkelen med sentrum i A er størst av de fem sirklene.

Forslag til videre arbeid

Hvis du skal lage en femkant med andre mål på sidelengdene enn de som er oppgitt i originaloppgaven (16, 14, 17, 13 og 14), hvilke mål på sidelengdene har femkanten din? I tillegg kan det være et krav om at den største sirkelen skal kunne tegnes i et bestemt hjørne for eksempel hjørne D. Hvordan ser denne femkanten ut?

Hva hvis du skal lage en femkant som ikke har en løsning? Det vil si at det ikke er mulig å tegne fem sirkler som tangerer hverandre eller at det finnes mer enn en løsning. Hvilke mål har sidelengdene på denne femkanten?

Hva hvis vi bytter ut femkanten med firkanter og stiller oss de samme spørsmålene? Eller hva med trekanter?

Denne oppgaven som jeg har kalt nykomlingen er en av mange spennende oppgaver som finnes i de tre oppgavesettene fra Kengurukonkurransen 2016.

Skrevet av Anne-Gunn Svorkmo

Tips en venn


Postadresse:
Matematikksenteret, NTNU
7491 Trondheim
Besøksadresse:
Gløshaugen,
Realfagbygget, A4
Telefon og epost:
73 55 11 42
ms@matematikksenteret.no
Kjernetid:
09.00-15.00

Personvernerklæring