Hva forteller de deriverte om funksjonen?

Derivasjon, derivert, førstederivert, andrederivert, nullpunkt, toppunkt, bunnpunkt, ekstremalpunkt, vendepunkt.

PC med GeoGebra og elevark

Elevene må kjenne til derivasjon fra før og ha arbeidet med funksjoner i GeoGebra. Undervisningsopplegget Introduksjon til derivasjon er et godt utgangspunkt. Opplegget handler om både den første- og andrederiverte. Det er også mulig å bare jobbe med den førstederiverte (aktivitet 1 og 2). 

Opplegget legger vekt på at elevene bruker egne ord for å beskrive matematiske sammenhenger. De må resonnere og argumentere for løsninger. Til slutt blir de bedt om å skrive en oppsummerende tekst der de generaliserer sammenhengen mellom funksjonen og dens deriverte.

Elevene arbeider i par på hver sin PC og med hvert sitt elevark. På den måten kan de diskutere underveis, samtidig som begge øver på å bruke GeoGebra og å notere ned matematiske observasjoner. Undervisningsopplegget inneholder relativt selvinstruerende oppgaver.

Elevene skal være aktive i utforskingen av temaet. Still spørsmål som får elevene til å resonnere og diskutere underveis.

Gode spørsmål:

• Hvorfor tror dere det er slik?
• Hva forventer dere?
• Hva mener dere om det?
• Hvordan ser grafen til `f(x)` ut når stigningstallet til tangentene er positive?
• Hvordan ser grafen til `f´(x)` ut der `f(x)` har et topp eller bunnpunkt?

Aktivitet 1: Funksjonen

Elevene starter med å tegne funksjonen `f(x) = x^(3) - x^(2) - 4x +4`. Så tegner de tangenten i et punkt på grafen og viser stigningstallet til tangenten. Deretter skal de tegne fortegnslinjer for graf og stigningen til tangenten, og sammenligne disse. Målet er at elevene skal oppdage sammenhengen mellom grafen til `f(x)` og stigningstallet til tangenten.

Kommentar til læreren

Aktiviteten gir elevene øving i å veksle mellom representasjonene graf og fortegnslinje. GeoGebra gjør det lett å tegne grafer og tangenter og å finne ulike verdier, og elevene kan dermed fokusere på de matematiske sammenhengene.

Elevene har ofte ulike innfallsvinkler til hvordan de jobber med en oppgave, og det er viktig at de engasjerer seg i hverandres resonneringer og diskuterer underveis.  

Gode spørsmål:

• Hvordan gjorde dere dette?
• Hvordan tenkte dere for å finne ut av det?
• På hvilken annen måte kunne dere finne ut av det?

Aktivitet 2: Den deriverte

I denne aktiviteten skal elevene undersøke stigningstallet til tangenten grundigere. Resultatene skal de sammenligne med grafen til funksjonen og grafen til den deriverte til funksjonen. Målet er at de skal oppdage sammenhengen mellom grafen til `f(x)` og grafen til stigningstallet, `g(x)`. De skal også komme fram til at grafen til `g(x)` er lik grafen til `f´(x)`.

Kommentar til læreren

Elevene skal lage en ny graf, `g(x)`, hvor de bruker stigningstallet til tangenten som y-verdi. De bør være nøyaktige når de lager skissen siden de etter hvert skal sammenligne den med grafen til den deriverte til `f(x)`, tegnet i GeoGebra.

Avslutt aktiviteten med en klassesamtale hvor elevene får presentere og diskutere de matematiske sammenhengene de har funnet. Vektlegg at grafen til den deriverte egentlig er en graf av stigningstallene til tangentene til `f(x)`.  

Aktivitet 3: Den andrederiverte

Elevene skal tegne grafen og fortegnslinjen til den andrederiverte til `f(x)` i GeoGebra. De skal så sammenligne grafen til den andrederiverte med grafene til `f(x)` og den deriverte.

Kommentar til læreren

Elevene arbeider med den andrederiverte på samme måte som for den deriverte.

Elevarket introduserer elevene for begrepet hul side. De blir bedt om å tegne grafen til `f(x)` i to koordinatsystemer, ett der `f´´(x)` er negativ og ett der `f´´(x)` er positiv. Erfaringsmessig er det lettere for elevene å forstå hva den hule side betyr når de splitter funksjonen i vendepunktet. Påpek sammenhengen med grafen til `f(x)`.

Til slutt skal elevene oppsummere sammenhengene de har funnet mellom funksjonen og dens deriverte og andrederiverte med egne ord. Elevarket oppfordrer elevene til å bruke matematiske begreper som stigningstall, tangent, bunnpunkt med mer. Mange elever synes det er vanskelig å beskrive matematikk med ord. Klassesamtaler hvor elevene viser fram og diskuterer eksempler på forklaringer kan bidra til at elevene utvider repertoaret sitt.

Oppsummering

En fin innfallsvinkel til å oppsummere alle aktivitetene kan være å be elevene forklare sammenhengene til noen andre enn samarbeidspartneren sin. Bruk så elevenes arbeid som utgangspunkt for en klassesamtale om funksjonen og de deriverte.

Elevene kan fortsette med aktiviteten fra Mattelist for å øve på å sammenhengen mellom funksjonen, førstederivert og andrederivert.

Utvidelse

Det er mulig å tilpasse opplegget til elever som trenger større utfordringer.

Eksempel 1

Gitt den deriverte funksjonen `h´(x) = 3x^(2) - 2x - 4`

• Skisser grafen til `h´(x)`.
• Hvordan vil funksjonen `h(x)` se ut? Skisser den i samme koordinatsystem som  `h´(x)`.

Eksempel 2

`k(x)` er en tredjegradsfunksjon. Dere får vite at `k´´(x) = -2x+3`.

• Skisser grafen til `k(x)`.

Utfordre elevene til å lage oppgaver til hverandre.