Kvikkbilde 4 · 12

Ulike måter å se antall på. Resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner.

Dette opplegget er utarbeidet som en del av prosjektet /content/4789/Mestre%20Ambisi%C3%B8s%20Matematikkundervisning">Mestre Ambisiøs Matematikkundervisning.

Plakat, lysark, interaktiv tavle eller PowerPoint med bildet.

Kort undervisningsnotat. 

Vis bilde med prikker til elevene i ca. tre sekunder. Elevene sin oppgave er å merke seg hvordan sjokoladene er organisert, og etter en stund får de se bildet i nye tre sekunder. Elevene kan på den måten få bekreftet det de har tenkt eller muligheten til å justere det før diskusjonen starter. Ha bildet synlig under felles diskusjon og bruk det aktivt til å sammenligne og resonnere.

Elevene beskriver hvordan de ser bildet og hvilke strategier de bruker for å finne antall sjokolader. Etter hvert som elevene forklarer hva de ser, spør hvordan det de ser kan uttrykkes symbolsk. Marker på bildet og skriv utrykkene på tavla. Merk at de symbolske utrykkene beskriver en tankegang, og ikke regnestykker som nødvendigvis skal regnes ut.

Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere.

De matematiske sammenhengene i Kvikkbilde «4 · 12» blir drøftet nærmere nedenfor. Mer om kvikkbildeaktiviteter finner du på nettsiden til MAM-prosjektet, Aktiviteter, Kvikkbilder

Matematiske sammenhenger

Hensikten med aktiviteten er at elevene skal få erfaringer med at antall sjokolader i esken er det samme, uansett på hvilken måte elevene organiserer eller deler opp bildet (bildet kan erstattes med ei tegning av konfektesken). På bakgrunn av dette kan man diskutere ulike egenskaper ved tall og regneoperasjoner. Det er et samspill mellom det visuelle og det symbolske som kan bidra til utvikling av forståelse av de matematiske idéene man ønsker å fremheve.

Ulike måter å se antall sjokolader på:

• 4 · (3 · 4) eller 4 · (4 · 3). Altså fire deler med tolv sjokolader i hver del (4 · 12). Antallet kan betraktes som tre rader med fire sjokolader i hver rad, eller fire rekker med tre sjokolader i hver rekke.
• (4 · 3) · 4. Altså 4 deler med 3 rader i hver og det er 4 i hver rad, 12 · 4.
• 6 · 8 eller 8 · 6. Seks rekker med 8 sjokolader i hver rekke eller åtte rader med seks sjokolader i hver rad.
• ((3 · 4) · 2)  · 2. Tre rader med fire sjokolader i hver rad, doble (halve esken) og doble en gang til.
• (12 · 2) · 2. Ser tolv sjokolader (uten å tenke 3 og 4), dobler og dobler igjen.
• (2 · 2) · 12. To deler i eska på venstre side, doble ( fire deler), multiplisere med antall biter i hver del.
• Andre varianter kan beskrives symbolsk som 2 · (2 · 12), (2 · 2) · (3 · 4) eller 2 · (2 · (3 · 4)).

Kommutativ egenskap: a · b = b · a

En sammenligning av betraktningene knyttet til 6 · 8 og 8 · 6 gir en illustrasjon av den kommutative egenskapen. Antall sjokolader i esken er det samme om man ser seks rader med åtte sjokolader i hver rad, eller åtte rekker med seks sjokolader i hver rekke. Man kan også studere den ene delen av esken og diskutere kommutativitet ut fra utrykkene 3 · 4 og 4 · 3.

Assosiativ egenskap: (a · b) · c = a · (b · c) 

Man kan diskutere assosiativ egenskap ved multiplikasjon ved å sammenligne betraktningene

(4 · 3) · 4 = 4 · (3 · 4). Utfordringen med at denne konfektesken er delt i fire, er at det blir to 4-ere i utrykket. For å fremheve assosiativitet så bør de ikke "beveges", samme firer må representere det samme i begge utrykkene. Det må være (4 deler · 3 rader i hver del · 4 sjokolader i hver rad) i begge tilfeller, men forskjellen er om man regner ut de to første eller de to siste tallene først.

Når dette skal tolkes inn i bildet kan man si at i første tilfelle, (4 · 3) · 4, regner man ut "antall rader med 4 i" først. I siste tilfellet, med 4 · (3 · 4) regner man ut antallet i en av de fire delene først.

Dobling

Esken er delt i fire like deler.  Antall sjokolader (a) i én del kan dobles og så dobles igjen fordi a · 4 = a · 2 · 2 fordi 2 · 2 = 4. Dette kan drøftes i tilknytning til assosiativitet siden (a · 2) · 2 = a · (2 · 2)

Symbolsk notasjon

Elever beskriver ofte sin tankegang i flere steg. Når de skal beskrive tankegangen symbolsk, kan det oppstå feil bruk av likhetstegn, for eksempel 2 · 12 = 24 · 2 = 48. Dette kan gjerne diskuteres eksplisitt.

I stedet for å bruke likhetstegnet, kan piler brukes for å beskrive stegene i tenkingen: 2 ∙ 12 → 24 ∙ 2 → 48.

Bruk av piler er et steg på vegen mot å se flere operasjoner i ett og samme uttrykk, gjerne ved bruk av parenteser. Dette vil være sentralt for å kunne diskutere egenskaper ved multiplikasjon og strukturen i tallet 48.