Kvikkbilde 4 ∙ 3 ∙ 2

Ulike måter å se antall på. Resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner.

Dette opplegget er utarbeidet som en del av prosjektet Mestre Ambisiøs Matematikkundervisning.

Plakat, lysark, interaktiv tavle eller Power Point med bildet.

Kort undervisningsnotat til læreren. 

Vis bildet med prikker til elevene i ca. tre sekunder. Elevene sin oppgave er å merke seg hvordan prikkene er organisert, og etter en stund får de se bildet i nye tre sekunder. Elevene kan på den måten få bekreftet det de har tenkt eller muligheten til å justere det før diskusjonen starter. Ha bildet synlig under felles diskusjon og bruk det aktivt til å sammenligne og resonnere.

Elevene beskriver hvordan de ser bildet og hvilke strategier de bruker for å finne antall prikker. Etter hvert som elevene forklarer hva de ser, spør dem om hvordan det de ser kan uttrykkes symbolsk. Marker på bildet og skriv utrykkene på tavla. Merk at de symbolske utrykkene beskriver en tankegang, og ikke regnestykker som nødvendigvis skal regnes ut.

Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere.

De matematiske sammenhengene i Kvikkbilde «4 · 3 ∙ 2» blir drøftet nærmere nedenfor.

Mer om kvikkbildeaktiviteter finner du på nettsiden til MAM-prosjektet, Aktiviteter, Kvikkbilder

Hensikten med aktiviteten er at elevene skal få erfaringer med at antall prikker i hele figuren er det samme, uansett på hvilken måte elevene organiserer eller deler opp figuren. På bakgrunn av dette kan man diskutere ulike egenskaper ved tall og regneoperasjoner. Bildet til høyre er valgt ut med tanke på å fremheve den kommutative og assosiative egenskapen ved multiplikasjon. De to egenskapene gjør at tre tall som skal multipliseres kan multipliseres i hvilken som helst rekkefølge, svaret blir det samme uansett. Det er et samspill mellom det visuelle og det symbolske som kan bidra til utvikling av forståelse av de matematiske idéene man ønsker å fremheve.

Kommutativ egenskap: a · b = b · a

Kvikkbildet ovenfor kan brukes til å diskutere den kommutative egenskapen ved multiplikasjon.

Multiplikasjonen a · b, der a og b er positive hele tall, kan tenkes som gjentatt addisjon. Konvensjonen er at man tenker "a b-ere", altså at a · b = b + b + ... + b (a ganger). Multiplikasjon er kommutativ (a · b = b · a, for alle tall a og b) og det innebærer at rekkefølgen ikke spiller noe rolle. Med andre ord b + b + ... b (a ganger) er like mye som a + a + .... + a (b ganger) når a og b er positive hele tall. Når kunnskap om den kommutative egenskapen er etablert, trenger man ikke å være oppmerksom på rekkefølgen av tallene i multiplikasjon. Men når denne egenskapen skal diskuteres, er det nødvendig at man har en felles tolkning av hva a · b som gjentatt addisjon står for.

I en diskusjon om den kommutative egenskapen kan man ta utgangspunkt i en av delene i bildet eller i hele bildet. Vi ser på en av delene, tre kolonner med fire prikker i hver. Antall prikker kan ses som tre 4-ere, altså 3 · 4, og den kan også ses som fire 3-ere, altså 4 · 3. En generalisering (andre tall enn 4 og 3) av bildet kan brukes for å diskutere egenskapen a · b = b · a mer generelt (når a og b er positive hele tall).

Assosiativ egenskap: (a · b) · c = a· (b · c)

En måte å tenke antall prikker på er å se at bildet består av to deler. I hver av delene er det tre kolonner med fire prikker i hver, altså 3 · 4 prikker. Antall prikker totalt kan da uttrykkes symbolsk som (3 · 4) · 2.

Vi kan også se figuren som fire rader med seks prikker i hver rad, der tre i den ene og tre i den andre delen blir seks. Symbolsk blir dette 4 · (3 + 3) = 4 · (2 · 3). Siden 2 · 3 = 3 · 2 (kommutativitet), så kan vi få uttrykket 4 · (3 · 2).  

Siden antallet er det samme uansett hvordan vi ser det, betyr det at (4 · 3) · 2 = 4 · (3 ·2). 

Kommutativitet og assosiativitet gjør at tre faktorer kan multipliseres i hvilken som helst rekkefølge, svaret blir det samme uansett. 4 · 3 · 2 = (4 · 3) · 2 = (3 · 4) · 2 = 4 · (3 · 2) = 3 · (4 · 2) = ....osv.

Symbolsk beskrivelse

Elever beskriver ofte sin tankegang i flere steg. Når de skal beskrive tankegangen symbolsk, kan det oppstå feil bruk av likhetstegn, for eksempel 4 · 3 = 12 · 2 = 24. Dette kan gjerne diskuteres eksplisitt.  I stedet for å bruke likhetstegnet, kan piler brukes for å beskrive stegene i tenkingen: 4 · 3 → 12·2 → 24. Bruk av piler er et steg på veien mot å se flere operasjoner i et og samme uttrykk, gjerne ved bruk av parenteser. Dette vil være sentralt for å kunne diskutere egenskaper ved multiplikasjon og tallenes struktur.

Se film av en lærer som gjennomfører denne undervisningssekvensen.