Kvikkbilde "2 · 4 + 3 · 4"

Ulike måter å se et antall på. Resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner.

Dette opplegget er utviklet som en del av prosjektet /mam/" target="_blank">Mestre Ambisiøs Matematikkundervisning. 

Plakat, lysark, interaktiv tavle eller PowerPoint med bildet.

Kort undervisningsnotat til læreren. 

Vis bildet med prikker til elevene i ca. tre sekunder. Elevene sin oppgave er å merke seg hvordan prikkene er organisert. Etter en stund får de se bildet i nye tre sekunder. Elevene kan på den måten få bekreftet det de har tenkt eller muligheten til å justere det før diskusjonen starter. Ha bildet synlig under felles diskusjon og bruk det  aktivt til å sammenligne og resonnere.

Elevene beskriver hvordan de ser bildet og hvilke strategier de bruker for å finne antall prikker. Etter hvert som elevene forklarer hva de ser, spør om hvordan det de ser kan uttrykkes symbolsk. Marker på bildet og skriv uttrykkene på tavla. Merk at de symbolske utrykkene beskriver en tankegang, og ikke regnestykker som skal regnes ut. De matematiske sammenhengene i opplegget Kvikkbilde "2 · 4 + 3 · 4" blir drøftet nærmere nedenfor.

Det kan være en idé å spare på notatet slik at det kan brukes senere.  Elevene bør bli oppmerksomme på, og reflektere over hva andre sier. Gi elevene tid til å tenke. Her kan du lese mer om kvikkbildeaktiviteter.

Matematiske sammenhenger

Hensikten med aktiviteten er at elevene skal få erfaringer med at antall prikker i hele figuren er det samme, uansett på hvilken måte elevene organiserer eller deler opp figuren. På bakgrunn av dette kan man diskutere ulike egenskaper ved tall og regneoperasjoner. Bildet til høyre er valgt ut med tanke på å fremheve den distributive egenskapen.  Bildet kan også brukes som et utgangspunkt i diskusjon om den kommutative egenskapen ved multiplikasjon. Det er et samspill mellom det visuelle og det symbolske som kan bidra til utvikling av forståelse av de matematiske idéene man ønsker å fremheve. 

Distributiv egenskap: (a + b) · c = a · c + b · c

En måte å tenke antall prikker på er å se at bildet består av to deler. I den ene delen er det to kolonner med fire prikker i hver, og i den andre er det tre kolonner med fire prikker i hver. Antallet prikker kan da uttrykkes symbolsk som 2 · 4 + 3 · 4.

En annen måte å se antallet på er å se figuren som helhet, bestående av fem kolonner med fire prikker i hver kolonne. Symbolsk kan dette uttrykkes som 5 · 4. Hvis man har kommet frem at det er fem kolonner ved å se at det er to i den ene delen og tre i den andre, kan tankegangen beskrives symbolsk som (2 + 3) · 4.

Siden antallet er det samme uansett hvordan vi ser det, betyr det at 2 · 4 + 3 · 4 = (2 + 3) · 4 = 5 · 4. Sammenhengen kommer tydelig fram i bildet. En generalisering (andre tall enn 2, 3 og 4) av bildet kan brukes for å diskutere egenskapen (a + b) · c = a · c + b · c mer generelt (når a, b og c er positive hele tall).

Kommutativ egenskap: a · b = b · a

Kvikkbildet ovenfor kan også brukes til å diskutere den kommutative egenskapen ved multiplikasjon.

Multiplikasjonen a · b, der a og b er positive hele tall, kan tenkes som gjentatt addisjon. Konvensjonen er at man tenker "a b-ere", altså at a · b = b + b +...+ b (a ganger). Multiplikasjon er kommutativ (a · b = b · a, for alle tall a og b). Det innebærer at rekkefølgen ikke spiller noen rolle. Med andre ord: b + b +... b (a ganger) er like mye som a + a +...+ a (b ganger) når a og b er positive hele tall. Når kunnskap om den kommutative egenskapen er etablert, trenger man ikke å være oppmerksom på rekkefølgen til tallene i en multiplikasjon. Men når denne egenskapen skal diskuteres, er det nødvendig at man har en felles tolkning av hva a · b som gjentatt addisjon står for. 

I en diskusjon om den kommutative egenskapen kan man ta utgangspunkt i en av de to delene i bildet eller i hele bildet. Vi ser på den første delen med to kolonner med fire prikker i hver. Antall prikker kan ses som to 4-ere, altså 2 · 4, og den kan også ses som fire 2-ere, altså 4 · 2. En generalisering (andre tall enn 2 og 4) av bilde kan brukes for å diskutere egenskapen a · b = b · a mer generelt (når a og b er positive hele tall).

Symbolsk beskrivelse

Elever beskriver ofte sin tankegang i flere steg. Når de skal beskrive tankegangen symbolsk, kan det oppstå feil bruk av likhetstegn, for eksempel 6 · 4 = 24 · 2 = 48. Dette kan gjerne diskuteres eksplisitt.  I stedet for å bruke likhetstegnet, kan piler brukes for å beskrive stegene i tenkingen: 6 · 4 → 24 · 2 → 48 Bruk av piler er et steg på vegen mot å se flere operasjoner i et og samme uttrykk, gjerne ved bruk av parenteser. Dette vil være sentralt for å kunne diskutere egenskaper ved multiplikasjon og tallenes struktur.