Algoritmisk tenking med GeoGebra 2

Tangent, derivert, nullpunkt, algoritmisk tenking

PC med GeoGebra og elevark

Om prosjektet

Opplegget er utviklet av Freudenthal Institute, Utrecht University som del av prosjektet “Computational and Mathematical Thinking” (NRO, prosjektnummer 40.5.18540.130). Elevene skal bruke GeoGebra for å trene på algoritmisk tenking i arbeidet med rette linjer. Algoritmisk tenking handler om å dele opp en utfordring og løse hver del systematisk. Det er sentralt når elevene skal utvikle egne strategier og fremgangsmåter i matematikk. 

Matematikksenteret har tilpasset undervisningsopplegget til norske forhold. Vi har valgt å dele inn undervisningsopplegget i to deler. I Algoritmisk tekning med GeoGebra 1 har Matematikksenteret valgt å dra nytte av samarbeidet vi har med Kikora. Oppgavene er tilpasset Kikora sin plattform slik at elevene får umiddelbar tilbakemelding underveis i arbeidet. I Algoritmisk tenking med GeoGebra 2 starter elevene arbeidet med blanke ark i GeoGebra. De må arbeide uten støtten fra de trinnvise instruksjonene i Kikora.  

Introduksjon

Undervisningsopplegget er en videreføring av Algoritmisk tenking med GeoGebra 1, men kan også brukes uavhengig.

I Algoritmisk tenking med GeoGebra 1 fikk elevene støtte av de trinnvise instruksjonene i Kikora. Mange elever vil oppleve de matematiske utfordringene som mer krevende når de skal begynne med blanke ark i GeoGebra.

Det er viktig at elevene bruker elevarket aktivt underveis, laster ned GeoGebra-filene og tar bilder av arbeidet i GeoGebra. Vi anbefaler at de har elevarket digitalt. Da kan de skrive inn tekst og lime inn bilder ved hjelp av Utklippsverktøy. Hvis elevene skal ha elevarket på papir, må størrelsen på svarboksene justeres før utskrift.

Opplegget starter med en innføring i ettpunktsformelen. Videre oppdager elevene at de ved å tegne mange tangenter, kan få et bilde av grafen. Til slutt blir de kjent med en metode for å nærme seg nullpunkter ved hjelp av tangenter (Newton-Raphsons metode).

Aktivitet 1: Ettpunktsformelen

Oppgaver på elevarket

• Tegn funksjonen `g(x)= -(3)/(4)x`.
• Lag punktet A = (2, 3). 
• Bruk formelen y = a(x-x₁) + y₁ for å tegne en linje som er parallell med g(x)  og går gjennom A.
• Gjør det samme for B = (-4, 1).
• Lag et uttrykk for stigningstallet a til en rett linje gjennom to punkt. Forklar sammenhengen mellom uttrykket og ettpunktsformelen. 

Kommentarer til læreren

Elevene skal lage parallelle linjer som står gjennom gitte punkter. Formelen er gitt og de fleste elevene vil forstå at de må sette inn koordinatene til punktet i formelen. Utfordre elevene til å forklare hvorfor linjene blir parallelle. Legg også merke til at GeoGebra gir linjene navn automatisk. Hvis elevene vil gi en linje navnet h, må de skrive h: y = …. .

Den siste oppgaven viser sammenhengen mellom stigningstall og ettpunktsformelen. Når elevene lager et uttrykk for a, vil de se at det er en omskriving av ettpunktsformelen. 

Hjelp elevene med å forstå hvorfor de kan erstatte y₂ med y og x₂ med x. Det vil gjøre det lettere for dem å forstå operasjonstegnene i formelen.

Aktivitet 2: Tangenter til f(x) = x² 

Oppgaver på elevarket

• Tegn parabelen `f(x)=x^(2)`
• Lag punkt P=(p,p²)
• Lag et uttrykk for tangenten i P og skriv det inn i GeoGebra.
• Test om tangenten følger med når du beveger P.
• Sett sporing på tangenten og animer glider p.
• Bruk kommandoen Følge( <Uttrykk>, <Variabel>, <Fra>, <Til>, <Trinnlengde>) for å tegne mange tangenter. Du må bruke variabelen p når du lager uttrykket for tangenten.
• Varier intervall og trinnlengde for å få et bilde som ligner det over.

Kommentarer til læreren

I denne aktiviteten skal elevene tegne mange tangenter til en parabel på to ulike måter, med Vis spor og Følge. Ved å tegne mange tangenter vil de få et godt bilde av hvordan parabelen ser ut. Tips gjerne elevene om å skjule funksjonen. Da vil det bli enda tydeligere at tangentene gir formen til parabelen.

De starter med å lage en tangent til parabelen i et gitt punkt, Be elevene om å se på aktivitet 1 dersom de trenger hjelp til dette. Først lager de mange tangenter ved å bruke Vis spor. Deretter lager elevene lage mange tangenter ved å bruke Følge-kommandoen: Følge( <Uttrykk>, <Variabel>, <Fra>, <Til>, <Trinnlengde>). Denne kommandoen er antakeligvis ukjent for elevene derfor er det viktig at de blir kjent med hvordan den fungerer. Hva skjer om de endrer trinnlengden? Hva skjer om de endrer start- eller sluttpunktet?

Elevene må bruke variabelen p når de lager et uttrykk for tangenten til parabelen. Vanligvis ville vi kalt p for en parameter, men her bruker vi variabel for å følge GeoGebra sin terminologi.

Forslag til uttrykk for tangenten:

y = f’(p)(x-p) + p²

y = f’(p)(x-p) + f(p)

f’(p)(x-p) + p²

f’(p)(x-p) + f(p)

Eksempel på løsning i GeoGebra:

Følge(y = f’(p)(x-p) + p², p, -20, 20, 0.5)

Hvis GeoGebra ikke vil tegne tangentene, har elevene antakeligvis brukt t(x) eller lignende i uttrykket. Følge-kommandoen forstår ikke den skrivemåten. Når elevene skal skrive inn lange kommandoer, er det lurt at de utvider Algebrafeltet slik at de ser hele kommandoen. Det gjør det lettere å holde oversikten og å oppdage feil.

Aktivitet 3: Tangenter til f(x) = ax² + bx + c

Oppgaver på elevarket

• Tegn en tangent til f(x)=ax²+bx+c   i punkt P = (p, f(p)). Linjen skal være en tangent selv om du endrer verdiene til a, b, c og p.
• Bruk Følge-kommandoen for å tegne mange tangenter til parabelen.

Kommentarer til læreren

Aktiviteten er en fortsettelse av aktivitet 2. Elevene skal bruke variabler (parametere) for å definere funksjonen. Det gir mulighet til å utforske mer. Mange elever vil bli overrasket over at uttrykket for tangenten ikke endrer seg selv om funksjonen er gitt av a, b og c. Det gir en god mulighet til å diskutere fordelene ved å bruke algebra.

Eksempel på løsning i GeoGebra:

Følge(y = f’(p)(x-p) +f(p), p, -10, 10, 0.2)

Aktivitet 4: Tangenter til andre grafer

Oppgaver på elevarket

Nå skal du selv velge en funksjon.

• Tegn funksjonen.
• Tegn én tangent til funksjonen din.
• Tegn mange tangenter.
• Noter hva du har regnet ut og hva du har skrevet i GeoGebra.
• Lim inn bilder av løsningen din i elevarket.

 Kommentarer til læreren

Aktivitet 1-3 har gitt elevene erfaringer som de kan dra nytte av når de skal lage mange tangenter til en valgt funksjon. De har sett at de kan skrive uttrykket for tangenten på samme måte uansett hvor komplisert funksjonen er, og slike erfaringer kan føre til dypere forståelse for funksjoner og tangenter. Ved å bruke skrivemåtene f(x) og f’(x) i GeoGebra, reduserer elevene sannsynligheten for skrivefeil. Det gir også mulighet til å utforske mer avanserte funksjoner.

Minn elevene på å gjøre gode notater underveis i arbeidet. Notatene skal gjøre det mulig for andre å gjenta det elevene har gjort. Elevene vil ha bruk for det senere, ikke minst med tanke på digital eksamen i matematikk.

Aktivitet 5: Nullpunkt med tangenter

Oppgaver på elevarket

Med Newton-Raphsons metode kan du nærme deg nullpunkter ved hjelp av tangenter.

• Studer tegningen.
• Forklar med dine egne ord hvordan metoden fungerer.
• Lag deg en andregradsfunksjon som har to nullpunkter.
• Bruk metoden for å finne en tilnærming til nullpunktene til funksjonen.

Kommentarer til læreren

I denne aktiviteten skal elevene undersøke en tegning som viser hvordan Newton-Raphsons metode fungerer. De vil oppdage at metoden går ut på å lage tangenter til funksjonen, og deretter bruke nullpunktet til tangentene for å finne en tilnærming til funksjonens nullpunkt.

Læreren må på forhånd bestemme om elevene kan bruke alle kommandoer, eller om de for eksempel bare får bruke CAS. Når de mener at de har funnet en god tilnærming, kan de sammenligne den med nullpunktet til funksjonen.

De fleste elevene vil finne en tilnærming til det første nullpunktet uten store utfordringer. Men hvordan skal de finne en tilnærming til det andre nullpunktet? Hvordan påvirker valg av startpunkt resultatet? Elevene vil oppdage at resultatet er avhengig av om de velger startpunkt til høyre eller venstre for x-verdien til ekstremalpunktet. Hvorfor blir den første tilnærmingen dårlig hvis de velger startpunkt nær x-verdien til ekstremalpunktet? Og hva skjer om de velger startverdi nøyaktig lik x-verdien til ekstremalpunktet? Hvorfor blir det slik?

I GeoGebra er det lett å gjøre justeringer underveis. Elevene kan endre funksjonsuttrykk og startpunkt med noen få tastetrykk. Oppfordre elevene til å utforske metoden, gjerne ved å undersøke andre typer funksjoner. Hvorfor fungerer metoden? Finnes det funksjoner metoden ikke fungerer på? Hvilke egenskaper må funksjonen ha for at metoden skal fungere? Oppsummer elevenes resultater i helklasse.

Eksempel på løsning med Algebrafelt:

Eksempel på løsning med CAS:

Avslutning

I dette undervisningsopplegget har elevene fått varierte erfaringer med tangenter. Ved å bruke skrivemåter som f(p) og P = (p, f(p)), blir det lettere for elevene å fokusere på de matematiske sammenhengene. I tillegg unngår de å bruke mye tid på å skrive lange, kompliserte uttrykk (og å rette opp skrivefeil som ofte følger med).

Elevene har sett hvordan tangenter kan vise formen til tilhørende funksjon og at de kan gi en tilnærming til funksjonens nullpunkt. Utforskingen av Newton-Raphsons metode gir innblikk i både matematiske sammenhenger og matematikkens historie. Den viser hvor mye regning som må til for å finne en tilnærming til et nullpunkt. Slike beregninger er utgangspunktet for programmering av bl.a. GeoGebra.