Matematikk 1P. Eksamensoppgave med graftegner

Oppgaven ble gitt som eksamensoppgave i Matematikk 1P høst 2013 (Utdanningsdirektoratet, s. 21).

Del 2, oppgave 5

Funksjonen f gitt ved f(x)=3x3−48x2+162x+300 viser hvor mange tonn fisk f(x) det var i en fiskebestand x år etter år 2000.

  1. Tegn grafen til f for 0≤x≤10.
  2. Når var fiskebestanden minst?

    Hvor mange tonn fisk var det i fiskebestanden da?
  3. Bestem skjæringspunktet mellom grafen til f og linjen med likning y=200.

    Hva forteller koordinatene til dette punktet om fiskebestanden?
  4. Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i fiskebestanden per år i perioden 1. januar 2003 - 1. januar 2007? 

Vi har valgt å vise to forskjellige løsningsforslag. Etter vår vurdering bør begge forslag gi full uttelling, men alternativ II (eller en blanding av I og II) er antakelig enklere for mange elever.

Løsningsforslag I

graftegner7.PNG

  1. Grafen til f er tegnet på figuren over.
  2. Jeg bruker kommandoen Ekstremalpunkt[f], og får både topp- og bunnpunktet til grafen. På figuren vises bunnpunktet B=(8.57,51.25) der fiskebestanden er minst.

    Fiskebestanden var minst i år 2008. Bestanden var da på 51 tonn.
  3. Jeg skriver y=200, og finner skjæringspunktet S=(5.91,200) med grafen f.

    Fiskebestanden var på 200 tonn i slutten av 2005.
  4. Jeg skriver inn P=(3,f(3)) og Q=(7,f(7)), og tegner den rette linja b gjennom disse punktene. Av ligningen til linje b ser jeg at stigningstallet er -81.

    Det betyr at fiskebestanden i gjennomsnitt sank med 81 tonn per år fra 1. januar 2003 til 1. januar 2007.

Kommentarer I

Denne typen oppgave finnes på alle eksamener i Matematikk 1P. Erfaring viser at elever som er vant til å bruke graftegner, ofte vil lete seg fram til funksjonsoppgaven og løse den først.

Utsagn som «Jeg finner skjæringspunktet…», eller «Skjæringspunktet mellom linjene er…» kommuniserer godt. Det er unødvendig å gå i detalj om hvilken metode som er brukt, for eksempel: «Jeg finner skjæringspunktet mellom linjene med verktøyet «Skjæring mellom to objekt».

 

GeoGebra

Didaktiske refleksjoner

a)

f(x)= 3x^3-48x^2+162x+300

Funksjon[f,0,10]

Elevene starter med å skrive inn funksjonen f(x).

For å avgrense grafen til intervallet 0≤x≤10, må man i GeoGebra bruke kommandoen Funksjon[f,0,10].

b)

Ekstremalpunkt[f]

Elevene må kjenne til begrepet ekstremalpunkt og klare å skille mellom maksimum og minimum. Tolking av svaret krever et tekstsvar.

c)

Tolkning av graf og skjæringspunkt

 

d)

Beregne gjennomsnittlig endring ved å se på stigningstallet til linja gjennom to punkter på grafen.

En elev som løser oppgaven på denne måten, viser høy kompetanse. 

Løsningsforslag II

graftegner8.PNG

  1. Grafen til f er tegnet på figuren over.
  2. Jeg bruker kommandoen Ekstremalpunkt[f], og får både topp- og bunnpunktet til grafen. På figuren vises bunnpunktet B=(8.57,51.25) der fiskebestanden er minst.

    Fiskebestanden var minst i år 2008. Bestanden var da på 51 tonn.
  3. Jeg skriver y=200, og finner skjæringspunktet S=(5.91,200) med grafen f.

    Fiskebestanden var på 200 tonn i slutten av 2005.
  4. Jeg skriver x=3 og finner skjæringspunktet med grafen f, P=(3,435). Så skriver jeg x=7 og finner skjæringspunktet med grafen, Q=(7,111). Jeg finner endringen i bestanden i løpet av disse 4 år: 111−435=−324. Endringen per år er −3244=−81.

    Det betyr at fiskebestanden i gjennomsnitt sank med 81 tonn per år fra 1. januar 2003 til 1. januar 2007.

Kommentarer II

 

GeoGebra

Didaktiske refleksjoner

d)

Beregne gjennomsnitt

Mange elever vil antakelig bruke kalkulator til å beregne den gjennomsnittlige veksten.