Rotasjon av likesidede mangekanter

Kongruensavbildning, rotasjon, rotasjonssentrum, vinkel, rotasjonssymmetrisk, mangekanter, GeoGebra

En PC med GeoGebra og et elevark til hvert par/hver elevgruppe.

Aktivitet 1

Elevene arbeider i par. De skal undersøke animasjonen Rotasjon som viser en trekant som roterer om et punkt. Animasjonen ligger på www.geogebra.org/u/matematikksenteret. Etter at elevene har arbeidet en stund, fortsetter aktiviteten med en klassesamtale med animasjonen på storskjerm. Da kan de enkelt vise fram hva de har funnet ut.

Kommentarer til læreren

Det er mulig å bevege på glideren for å rotere trekanten samt rotere automatisk med start- og stoppknappen. Glideren går fra 0° til 720°. GeoGebra kan vise originalen og rotasjonsvinkelen, i tillegg til den roterte trekanten. Det gjør det lett å se at 360° er en hel omdreining siden den roterte trekanten dekker originalen. Ved å klikke på vinkel i animasjonen kommer to linjestykker mellom punkt på originalen, rotasjonssentrum og punkt på den roterte trekanten fram, i tillegg til vinkelen mellom linjestykkene.

I animasjonen er det satt på sporing på hjørnene slik at elevene kan følge bevegelsen til punktene. Ved å stoppe animasjonen, dra i et hjørne eller flytte hele trekanten og så starte animasjonen igjen flere ganger, får elevene varierte erfaringer med rotasjon. Oppfordre de til å undersøke hva som skjer når rotasjonssenteret er innenfor, på og utenfor trekanten.

Når elevene har blitt kjent med animasjonen og fått noen erfaringer, fortsetter aktiviteten med en klassesamtale. Vektlegg rotasjon som kongruensavbildning (formen er bevart etter rotasjon) og hva som skjer med hjørnene til trekanten under rotasjonen. Bruk relevante begreper som rotasjon, rotasjonssentrum og rotasjonsvinkel.

Gode spørsmål til oppsummering:

• Hvorfor tegner GeoGebra sirkler?
• Hva betyr tallene på glideren?
• Hvor ligger trekanten hvis glideren står på 90° eller 180°?
• Hvor ligger trekanten når man roterer med 360°, 540° eller 720°?
• Hvor er vinkelen GeoGebra måler?
• Vinkelen (i trekanten) vokser i takt med glideren, men starter på nytt etter 360°. Hvorfor gjør den det?

Vinklene 360°, 540° eller 720° er godt kjente for elever som liker snowboard eller skateboard, noe som gjør det lettere å knytte rotasjon til noe de kan fra før.

Aktivitet 2

Elevene skal så utforske likesidede mangekanter. I felles klasse lager de den første tegningen (konstruksjonen) de skal arbeide med i GeoGebra, nemlig en sekskant som de kan rotere med glider. Instruksjonen står også på elevarket hvis elevene glemmer fremgangsmåten når de skal lage de andre mangekantene.

Forslag til fremgangsmåte: 

• Åpne en ny fil i GeoGebra.
• Skjul akser og rutenett.
• Lag en glider for rotasjonsvinkelen:
  • Velg Glider og trykk i Grafikkfeltet.
  • Velg Vinkel.
  • Slett α = 45° og skriv v.
  • Trykk OK.
• Tegn en likesidet sekskant.
• Tegn et punkt som skal være rotasjonssentrum.
• Velg Roter objekt om punkt med fast vinkel.
• Trykk på sekskanten og på punktet (rotasjonssenteret) og skriv v som vinkel.

Elevene fortsetter så å arbeide i par med elevarket. Målet er å finne ut hvor mange grader de må rotere ulike likesidede mangekanter for å få den roterte mangekanten til å dekke originalen.

Kommentarer til læreren

I aktivitet 1 oppdaget elevene at den roterte trekanten alltid dekket originalen når de roterte 360°, men er det mulig å rotere med en mindre vinkel? I denne aktiviteten vil elevene oppdage at det er mulig for likesidede mangekanter, og at plasseringen av rotasjonssenteret er avgjørende.

Elevene starter med å lage en likesidet sekskant som de kan rotere med en glider. Likesidet mangekant heter Regulær mangekant i GeoGebra. Siden dette er en ganske komplisert tegning for elever på mellomtrinnet, anbefaler vi å gjøre dette i felles klasse. På den måten kommer alle godt i gang, og kan deretter fortsette utforskingen i par. Oppfordre de til å bevege på glider og rotasjonssenteret og observere hva som skjer før de begynner med oppgavene på elevarket.

Elevene må selv finne ut at midtpunktet til mangekanten må være rotasjonssenteret. Når de har arbeidet en stund med aktiviteten, er det lurt med en klassesamtale med fokus på denne matematiske sammenhengen slik at elevene kan starte med å finne midtpunktet til mangekantene i den videre utforskingen.

De tre første oppgavene er rotasjon av en likesidet sekskant, et kvadrat og en likesidet trekant. Rekkefølgen på oppgavene er valgt bevisst. Elevene ser sammenhengen med vinkler bedre i en sekskant enn i en trekant. Hvis elevene bruker linjer/linjestykker for å finne midtpunktet, er det enklere å finne midtpunktet i mangekanter hvor antall sider er et partall enn et oddetall. Så det å starte med for eksempel en femkant kan ødelegge noe av eksperimenteringen. Noen elever vil oppdage at GeoGebra kan finne midtpunktet for dem hvis de bruker Midtpunkt eller sentrum algebra. 

Oppfordre elevene til å lete videre når de har funnet en løsning og til å resonnere over om de har funnet alle løsningene. Elevene skal så undersøke likesidete mangekanter de velger selv. Kan de finne en generell regel som gjelder for alle likesidede mangekanter når rotasjonssenteret er plassert i midten av mangekanten? Mange elever vil oppdage at hvis de deler 360˚ på antall sider så får de en vinkel de kan rotere med for å dekke originalen. Noen vil også oppdage at de kan rotere med multiplum av denne vinkelen.

Gi elevene nok tid til å prøve (og å feile). Jo mer elevene får prøve selv, jo bedre blir de til å bruke GeoGebra. Det digitale verktøyet hjelper elevene med å utvide forståelsen av geometri, og de opplever også opplæringen i det digitale verktøyet som relevant når den skjer samtidig som de arbeider med matematiske problemer.

Observer hvordan elevene angriper problemet. Tenker elevene før de velger en verdi for vinkelen, eller prøver de seg bare fram? I motsetning til konstruksjoner på papir gjør GeoGebra det mulig å tegne alle mulige regulære mangekanter og velge alle mulige vinkelstørrelser. Elevene ser med en gang om løsningen stemmer. Angre-knappen gjør det lett å prøve på nytt hvis resultatet ikke blir som forventet.

Oppsummering

Som oppsummering skal elevene vise fram hvordan de har tenkt, og hvilke matematiske sammenhenger de har funnet. Velg ut elevene som skal presentere arbeidet sitt basert på observasjonene underveis, og pass på at klassen får se forskjellige løsningsmetoder.