Trekant med areal 12

Arealet til trekant, algebra, høgde i trekant, GeoGebra

Kvar elev treng ein Pc med GeoGebra og elevarket. Det er ein fordel for elevane om elevarket blir gjort tilgjengeleg digitalt slik at dei kan legge inn figurar og tekst.

Opplegget har som mål å gi ei djupare forståing av arealet til trekanter. Mange elevar klarar å finne arealet ved hjelp av formlar uten at dei forstår samanhengen mellom variablane. I dette opplegget treng elevane kunnskap fra algebra for å finne alle moglege trekantar med areal 12.

Førebuingar

Opplegget er godt egna til å la elevane øve på føring av oppgåver digitalt, slik dei skal gjere på eksamen. Elevane kan lage si eiga Wordfil der dei skriv inn svar og limar inn bilete frå GeoGebra. Alternativt kan læraren la elevarket vere tilgjengeleg digitalt slik at elevane kan skrive inn svara og lime inn resultata frå GeoGebra.

Det er ein stor fordel om elevane blir kjent med utklippsverktyet slik at dei enkelt kan ta bilete av eit vald utsnitt i GeoGebra-vinduet, og deretter lime inn biletet i eit tekstdokument. Vi anbefaler at elevane festar utklippsverktyet på oppgåvelinja slik at det er lett tilgjengeleg gjennom heile skuleåret. Utklippsverktyet kan brukast i alle program, og eleven slepp dermed å forholde seg til mange ulike måtar å skrive ut på.

Figur 1: Utklippsverkty  

Aktivitet 1

Oppgåvetekst frå elevark

• Bruk verktyet Mangekant og teikn fire trekantar.  Vis arealet til figurane.
• Flytt på hjørna slik at alle figurane dine har areal som er så nær 12 som mogleg.
• Lim trekantane inn i dokumentet. 
• Beskriv så nøyaktig som mogleg korleis du har tenkt og kva du har gjort.
• Kva for fellestrekk finn du mellom trekantane? Er du nøgd med resultatet?

Kommentarar til læraren

Elevane skal kome fram til svaret gjennom å prøve og feile, og dei fleste elevane klarer å lage trekantar med areal 12. Målet med aktiviteten er å gjere elevane bevisst på at det finst mange ulike trekantar med areal 12 (sjå tittelbiletet). Læraren må godta at somme elevar er nøgde med at arealet er omlag 12. Oppgåva blir enklare ved å velje ein eller ingen desimalar under Innstillinger. 

Aktivitet 2

Oppgåvetekst frå elevark

• Åpne ei ny GeoGebrafil.
• Vel Linjestykke med fast lengde. Skriv inn 8 i dialogboksen.
• Teikn ein trekant der linjestykket med lengde 8 er ei side.  Vis arealet.
• Flytt på hjørna slik at arealet blir lik 12.
• Gjer det same ein gong til slik at du har to trekantar med side 8 og areal 12 på arket.
• Lim trekantane inn i dokumentet.
• Samanlikn med figurane som du laga i aktivitet 1. Var det lettare eller vanskelegare å få lage desse trekantane? Grunngi svaret.

Kommentarar til læraren

Når elevane teiknar eit linjestykke med bestemt lengde, vil linjestykket alltid legge seg parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet (horisontalt). Dersom elevane kun får erfaring med figurar som har sider som ligg parallelt med sidekanten, kan det føre til dårleg forståing av eigenskapane til figurar. Det er derfor lurt å be elevane om å bevege litt på linjestykket (sjå figur 2).

Sjølv om den eine sida er kjent, treng det ikkje vere lettare for elevane å finne trekantar med areal 12. Elevane kan ikkje lenger dra i alle hjørna til trekanten, men sjølv med ein felles eigenskap kan elevane finne mange ulike trekantar.

Figur 2: Trekantar som ikkje er parallelle med sidekantane til Grafikkfeltet.

Aktivitet 3

Oppgåvetekst frå elevark

Denne oppgåva løyser du uten å bruke GeoGebra.  Bruk det du veit om trekantar.

• Kva må du vite for å kunne finne arealet til trekantar?
• Kvifor finst det uendeleg mange trekantar med areal 12 og side 8?
• Kva er felles for alle trekantar med areal 12 og side 8?

Kommentarar til læraren

I denne aktiviteten skal elevane notere kunnskapane dei har om utrekning av areal, for eksempel kan dei skrive ned formelen for arealet til trekantar og beskrive den med ord. Vidare skal elevane grunngi kvifor dei kan teikne uendeleg mange trekantar med areal 12 og side 8. Elevane har arbeidd med arealformelen for trekantar mange gongar. Likevel vil mange synast det er vanskeleg å sjå korleis ein formel og ei teikning heng samen. Det er ikkje selvsagt for alle elevar at side 8 kan være grunnlinja når ho ligg på skrått på arket, eller at alle sidene kan vere grunnlinj til trekanten, og dermed brukast til å rekne ut arealet til trekanten. I neste aktivitet skal elevane utforske at alle trekantar med areal 12 og ei side på 8 har same høgde.

Aktivitet 4

Oppgåvetekst frå elevark

Åpne ei ny GeoGebra-fil

• Teikn eit linjestykke med lengde 8. Flytt litt på eitt av endepunkta slik at linja ikkje ligg parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet.
• TEikn tre trekantar med areal 12 der linjestykket med lengde 8 er ei av sidene.
• Kva observerer du? Teikn gjerne hjelpelinjer dersom det hjelper deg med å forklare.

Kommentarar til læraren

Når elevane har teikna figuren med tre trekantar med same grunnlinje, skal dei sjå at det er mogeleg å teikne ei linje gjennom alle punkta C. Denne linja er parallell med grunnlinj c.

I GeoGebra er det ikkje lett å måle avstanden mellom parallellar, og derfor forventar ein ikkje at elevane skal gjere det. Dersom læraren vil vise høgda, er det enklast å teikne ei loddrett linje gjennom eit punkt C, finne skjæringspunktet med grunnlinja og teikne inn linja mellom to punkt.

Figur 3 viser eit eksempel på korleis figuren vil sjå ut dersom elevane ikkje teiknar trekantar med nøyaktig areal 12.Da blir ikkje høgda nøyaktig 3, og linjene er ikkje parallelle. Elevane vil likevel oppfatte linjene som parallelle.

Figur 3: Tre trekantar med same grunnlinje og areal 12.

Klassesamtale

Når dei fleste elevane har kome godt i gang med aktivitet 4 og somme har startet med aktivitet 5, er det lurt med ei felles oppsummering av arbeidet så langt. Elevane arbeider ikkje like fort, og derfor er det viktig å ikkje vente med ein oppsummarende samtale til alle elevane er ferdige. Mykje av hjelpa som elevane kan gi kvarandre ville da gå tapt. I klassesamtalen kan læraren kontrollere om alle elevane har forstått at det finst ein samanheng mellom teikningane og formel for areal og kvifor det finst uendeleg mange trekantar med areal 12 og side 8.

Ikkje alle elevar er klar over at avstanden mellom to parallelle linjer er lik uansett kor dei teiknar han inn. Mange elevar tenkjer at høgda må gå frå eit bestemt punkt til motsatt side, så somme elevar vil oppleve det som nytt at dei kan teikne inn høgda kor som helst på dei to parallellane. Læreren må avgjere kor mykje hjelp elevane treng for å kome vidare, for eksempel om elevane treng hjelp til å teikne to parallelle linjer med ein gitt avstand (sjå figur 4).

Det kan vere lurt å gjere aktivitet 5 i felles klasse sida framgangsmåten for å teikne parallelle linjer i GeoGebra er noko ulikt frå framgangsmåten med papir og blyant. Ved å gjere aktiviteten i fellesskap, får også alle elevane same utgangspunkt for å prøve seg på aktivitet 6.

Figur 4: Fremgangsmåte for å teikne to parallelle linjer med ein gjeve avstand.

Aktivitet 5

Oppgåvetekst frå elevark

Åpne ei ny GeoGebra-fil.

• No skal du bruke kunnskapane frå aktivitet 3 og observasjonane frå aktivitet 4 til å teikne ein trekant med grunnlinje 8 og areal 12 der arealet ikkje endrer seg uansett korleis du flyttar på hjørna. Sjå på GeoGebra-hjelp dersom du treng idear. Biletet viser starten av konstruksjonen.

• Forklar korleis du tenkjer.

Kommentarar til læreren

Elevane startar med å teikne grunnlinja. Minn dei gjerne om å bevege grunnlinja slik at ho ikkje ligg parallelt med sidekanten til Grafikkfeltet. Teikn ein parallell i avstand 3 (høgda til trekanten) og sett eit punkt kor som helst på parallellen. Teikn trekanten.

Dette er ei vanskeleg oppgåve som vi ikkje kan forvente at alle elevar klarer sjølvstendig. Derfor kan det vere greitt at elevane og læreren løyser oppgåva i fellesskap.

Aktivitet 6

Oppgåvetekst frå elevark

I denne oppgåva skal du lage ein trekant med areal 12. Tallet 8 frå den siste oppgåva må du erstatte med ein bokstav. Du kan velje den bokstaven du vil. I forklaring er c brukt.

• Teikn Linjestykke mellom to punkt og gi det namnet c.
• Når du skal teikne sirkelen, må du sette inn ein formel for radius. Tenk over korleis du rekna for å finne radius i aktivitet 5.
• For å gjere ferdig trekanten, teiknar du vidare som i aktivitet 5.
• Test teikninga din ved å dra i hjørna. Ta fleire bilete og lim dei inn i dokumentet.
• Forklar kvifor alle trekantene dine har areal 12.

Kommentarar til læreren

I denne aktiviteten har elevene bruk for algebrakunnskapane sine. Dei startar med eit linjestykke med lengde c (grunnlinj i trekanten). Formelen for arealet blir dermed:

`h = (c * h)/(2)`

For elevane kan det sjå ut som om dette er ei likning med to ukjente, c og h. Men her er det berre h som er ukjent, mens c er lengda til grunnlinja i trekanten. Det kan vere uvant for elevane.

Elevene får så ein formel for høgda:

`h = (12 * 2)/(c)`

Dersom GeoGebra ikkje teiknar ein sirkel, har elevane vald for lang grunnlinje.

Deretter kan elevane konstruere trekanten på same måte som i aktivitet 5. Resultatet blir ein trekant med areal 12 og tre blå hjørne som elevane kan bevege fritt. Elevane kan gjerne vise at det blir rett sjølv om dei brukar mange desimalar på sidelengdene. Dette står i kontrast til aktivitet 1, der det var vanskelag å få til areal 12 når elevene valde 2 eller flere desimalar.

Ekstra utfordring

Aktiviteten passar for elevar som vil utforske GeoGebra litt ekstra, og læraren kan gi aktiviteten til elevar som blir tidleg ferdig eller treng ekstra utfordring.

Oppgåvetekst

Lag en figur der du kan endre både areal og grunnlinje. Det vil si at du skal klare å tegne en figur med areal 10 og grunnlinje 12, og deretter endre figuren til å ha areal 18 og grunnlinje 4.

Kommentarer til læreren

Her må elevane velje ein variabel for grunnlinje og ein variabel for areal. Den enklaste framgangsmåten er at elevane startar med å lage Glider for c og A. Resten av konstruksjonen er som før, bortsett frå at elevane erstattar 8 med c og 12 med A. Ved å bevege på glidarane kan elevane stille inn nøyaktig den lengda og det arealet dei ønskjer (sjå figur 5).

Høyda til trekanten er gitt ved: `h = (2A)/(c)`, og det må elevane bruke når dei skal lage sirkelen som bestemmer avstanden mellom grunnlinja til trekanten og parallellen som høgda må ligge på (sjå figur 6).

Figur 5: Trekant der elevane kan endre på grunnlinje og areal med glidarar.

Figur 6: Sirkel der radius er gjeve av storleiken på areal og grunnlinje.

Oppsummering

Målet med opplegget er å gi elevane auka forståing for geometriske samnhengar. Ved å bruke algebra kan elevane kome fram til at samanhengen mellom grunnlinje og høgde stemmer uansett lengde av grunnlinja. GeoGebra gir elevane trening i bruk av dynamisk programvare, og dei blir kjende med fordeler og ulemper med digitale teikningar. At det er avgjerande å bruke den same bokstaven berre ein gong i kvar teikning, tvingar elevane til å vere ekstra nøye.