Å kunne regne i matematikk

Å kunne rekne i matematikk vil seie å bruke matematiske representasjonar, omgrep og framgangsmåtar til å gjere utrekningar og vurdere om løysingar er gyldige. Det inneber å kjenne att konkrete problem som kan løysast ved rekning, og formulere spørsmål om desse. Matematikk har eit særleg ansvar for opplæringa i å kunne rekne. Utviklinga av rekneferdigheiter i matematikk handlar om å analysere og løyse eit spekter av stadig meir komplekse problem med effektive og formålstenlege omgrep, symbol, metodar og strategiar.

Det å gjenkjenne og beskrive i matematikkfaget er kanskje en delferdighet som har fått for liten oppmerksomhet, eller en delferdighet som har blitt tatt for gitt.

For mange elever er møtet med tekstoppgaver også første gangen det blir stilt krav til at de skal gjenkjenne og beskrive et problem. Det kan være når elevene skal oversette fra et regneuttrykk til en tekst, eller motsatt. Elevutsagn, som «Jeg forstår ikke hva jeg skal gjøre», eller «Skal jeg gange eller dele?», tyder på at elevene kan ha utfordringer med delferdigheten gjenkjenne og beskrive. 

Å gjenkjenne og beskrive innebærer at elevene klarer å oversette et problem i en kontekst til et matematisk problem. Det kaller vi å matematisere problemet. For eksempel innebærer det å forstå en tekst og sette opp et regneuttrykk som gir svar på deler eller hele problemet. Det gjelder uavhengig av om elevene senere bruker kalkulator eller ikke for å utføre beregningene. For at elevene skal kunne matematisere kontekster, kreves det at de har forståelse av begrepene på de matematiske kunnskapsområdene de jobber med.

Det er verdt å merke seg at måten problemene er utformet på, avgjør hvor utfordrende det er å gjenkjenne og beskrive. Tabellen nedenfor viser noen eksempler. 

Selv om tall og store deler av teksten er identiske i eksemplene som er satt opp mot hverandre, stiller de ulike krav til elevene når det gjelder å gjenkjenne og beskrive problemene. Eksemplene 1a, 2a og 3a tar utgangspunkt i kontekster som trolig alle elevene identifiserer seg med. I eksemplene 1b, 2b og 3b er kontekstene noe endret, og stiller dermed større krav til elevene når det gjelder å gjenkjenne og beskrive matematikken i konteksten.

I eksempel 1b er det starten eller utgangspunktet som er ukjent, mens i eksempel 1a er det resultatet som er ukjent. I tillegg er rekkefølgen på tallene snudd om sammenlignet med eksempel 1a, og tallene har en annen rekkefølge i regneuttrykket enn det de har i konteksten.

I eksempel 2b er konteksten mer ukjent enn i eksempel 2a. I tillegg inneholder eksempel 2b begreper som for mange elever er ukjent (kilowattimer). Det å vurdere hvilken informasjon som er relevant, og hvilke begreper som er en forutsetning å forstå for å kunne løse problemet, er en del av det å gjenkjenne og beskrive matematikken i et problem.

Forskjellen mellom eksempel 3a og 3b er måten arealbegrepet er uttrykt på. I eksempel 3a er begrepet uttrykt eksplisitt. Dette, og at det er oppgitt to tall i eksemplet, gjør at de aller fleste elevene vil klare å matematisere problemet (8 m ∙ 5 m). I eksempel 3b er arealbegrepet uttrykt implisitt gjennom kvadratmeter. For å matematisere dette problemet må elevene selv oversette spørsmålet til at det dreier seg om areal. 

At å gjenkjenne og beskrive er en delferdighet, innebærer også at elevene trenger en undervisning som bidrar til at de utvikler denne delferdigheten, og at utviklingen skjer i takt med de andre delferdighetene.

Ved innføringen av ny læreplan i matematikk ble også kjerneelementene, som det viktigste elevene skal lære i faget, tatt i bruk. Et av kjerneelementene er modellering og anvendelse, der matematisk modellering er definert som en beskrivelse av virkeligheten i matematikkens språk. Elevene skal utvikle kompetanse i å utvikle egne modeller, forstå andres modeller og forstå hvordan matematiske modeller blir brukt til å beskrive dagliglivet. Det å vurdere om disse modellene er gyldige i lys av situasjonen de beskriver, kommer også inn under kjerneelementet. Beskrivelsen av kjerneelementet er helt i tråd med den helhetlige problemløsningsmodellen som brukes for å beskrive delferdighetene i den grunnleggende ferdigheten å kunne regne. Å utvikle elevenes ferdighet i å matematisere kontekster er sentrale deler av både den grunnleggende ferdigheten å kunne regne og faget matematikk.

Ved å fjerne et ensidig fokus på riktig svar i matematikkoppgaver kan man fremme utviklingen av å gjenkjenne og beskrive. En måte å gjøre det på er å avklare løsningen på oppgaven tidlig i arbeidet, for deretter å fokusere på hvorfor løsningen er som den er.

Etter at elevene har gjenkjent og beskrevet et problem, blir neste steg å løse det matematiske problemet, som kan være for eksempel et regneuttrykk.

Å bruke og bearbeide forutsetter at elevene har prosedyreferdigheter, for eksempel når de skal behandle regneuttrykk. For noen har det å utføre beregninger vært sett på som synonym for den grunnleggende ferdigheten å kunne regne. Å kunne utføre beregninger er viktig, men er altså bare en del av det å kunne regne som grunnleggende ferdighet. 

For at elevene skal kunne utføre beregninger nøyaktig og effektivt, er det viktig at de har et utvalg av strategier å velge mellom. Selv om nasjonal prøve i regning ikke måler hvilke strategier elevene bruker, legger oppgavene opp til at de kan løses ved hjelp av ulike strategier. Det finner vi bred støtte for i læreplanen i matematikk, og derfor er det viktig at elevene møter en undervisning som legger til rette for at de skal utvikle gode og effektive strategier. Lykkes vi med det, unngår vi for eksempel at elevene løser alle multiplikasjonsstykker med samme strategi. Det vil være lite formålstjenlig å regne ut hvor mye bursdagshattene i eksempel 2a koster, ved hjelp av standardalgoritmen for multiplikasjon eller gjentatt addisjon. Da er trolig egenskaper i posisjonssystemet med at hvert siffer i et tall representerer en tierpotens, og at når vi multipliserer tall med 10, blir alle sifrene 10 ganger så mye verdt, en mer effektiv strategi. På samme måte vil subtraksjonstykkene 763 – 251 og 314 – 98 kanskje ha ulike strategier som kan betegnes som formålstjenlige? 

Hva som er formålstjenlige strategier, vil variere fra situasjon til situasjon og fra person til person. Det er derfor viktig at undervisningen legger opp til at elevene skal bli kjent med ulike strategier, både strategier som elevene har utviklet selv, og strategier som andre har utviklet. Standardalgoritmene er blitt utviklet over lang tid. Det er krevende å forstå dem fordi mange av de matematiske egenskapene er blitt forenklet i stadige tilpasninger for å gjøre algoritmene så effektive som mulig. I de stadige effektiviseringene av algoritmene er de matematiske egenskapene blitt mer og mer skjult. Når elevene skal bruke algoritmene, må de matematiske egenskapene gjøres synlige, og elevene vil trenge tid for å forstå dem. Det viktigste er å forstå algoritmen, ikke å huske den.

En mulig måte å gjøre elevene kjent med ulike strategier på kan være at elevene skal løse problemer på flere forskjellige måter. Her kan oppgaver fra nasjonale prøver i regning være et fint utgangspunkt. 

Å reflektere og vurdere innebærer å kunne vurdere om svaret på et regnestykke er et sannsynlig svar på spørsmålet som er stilt. I likhet med de andre delferdighetene må også elevene få en undervisning som utvikler denne delferdigheten. Vi legger ofte opp til at elevene først skal gjenkjenne og beskrive et problem, så bruke og bearbeide og til slutt reflektere og vurdere. Vi kan snu om på denne arbeidsgangen ved å sette sterkere fokus på å reflektere og vurdere før vi begynner med å utføre beregninger. Spørsmål som «hvilket intervall tror vi svaret ligger mellom?» eller «er det noen alternativ vi med sikkerhet kan utelukke?», kan være en nyttig innfallsvinkel.

Å reflektere og vurdere innebærer også å kunne oversette en matematisk løsning til en virkelig løsning. Tabellen nedenfor viser hvordan den matematiske løsningen 21,5 får ulike virkelige løsninger, avhengig av konteksten. 

"Kommunikasjon i matematikk handlar om at elevane bruker matematisk språk i samtalar, argumentasjon og resonnement. Elevane må få høve til å bruke matematiske representasjonar i ulike samanhengar gjennom eigne erfaringar og matematiske samtalar. Elevane må få høve til å forklare og grunngi val av representasjonsform. Elevane må kunne omsetje mellom matematiske representasjonar og daglegspråket og veksle mellom ulike representasjonar."

-LK20

Kommunikasjon er et viktig element i hver av de tre andre delferdighetene. Når elevene skal gjenkjenne det matematiske innholdet i en situasjon og matematisere problemet, må de kunne sette ord på, muntlig eller skriftlig, sentrale variabler, størrelser og begrep. Elevene må også kunne diskutere dette med medelever og lærer. Det innebærer for eksempel å diskutere hvordan situasjonen kan forenkles slik at man kan matematisere problemet og bearbeide det videre.

Videre må elevene kunne uttrykke fremgangsmåter, resonnementer og resultater på ulike måter. De må også kunne begrunne valg av strategier og verktøy.

Sist med ikke minst må elevene kunne kommunisere om det de har kommet frem til. De må kunne legge frem tolkninger av resultatene, og drøfte modellens begrensninger og hvorvidt resultatene er fornuftige og logiske ut fra konteksten.

I dette undervisningsopplegget skal elevene bruke regning til å løse et kombinatorisk problem.

Årstrinn: 8-10

Tidsbruk: 60 minutter

Hovedområde

Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk

Aktuelle kompetansemål

• beskrive og generalisere mønster med eigne ord og algebraisk
• lage og forklare rekneuttrykk med tal, variablar og konstantar knytte til praktiske situasjonar

Beskrivelse av opplegget

Velg mål for timen og planlegg undervisningen etter det. Forslag til læringsmål kan være:

-       Representasjoner

-       Løsningsstrategier

-       Generelle formler (rekursiv og eksplisitt)

Vi anbefaler at elevene arbeider i grupper på tre.

Presenter oppgave 1 for elevene og klargjør eventuelle spørsmål til oppgaven. Gjør elevene spesielt oppmerksomme på at begrunnelse for de valgene de tar underveis er svært viktige. Det kan for eksempel være ulike forkortelser (B for bringebær), valg av løsningsstrategier (tabell, konkreter, osv.), og lignende.

Oppgave til elevene

Ida inviterer til selskap og planlegger å lage gelé i glass til gjestene. Ida kjøper inn fire ulike smaker og ønsker å ha to smaker i hvert glass.

1. På hvor mange ulike måter kan Ida lage geléglasset?
2. Spiller rekkefølgen noen rolle?
3. Hvor mange måter kan hun lage dersom hun kjøper inn flere smaker?

Vurdering

Elevene vurderes etter timens læringsmål. Det er viktig at elevene er kjent med vurderingskriteriene før timen starter slik at de forstår hva de skal lære og hva som er forventet av dem. Læreren gir tilbakemelding på strategibruk og fremgangsmåte og utfordrer eleven på strategiens gyldighet. Elevene vurderes også etter hvor godt de kan se sammenhenger mellom strategier og/eller representasjoner.

Ved at elevene arbeider i grupper kan læreren også legge til rette for at elevene diskuterer hverandres strategier. Med bruk av hverandrevurdering må elevene vurdere og reflektere over eget arbeid.  

Helhetlig problemløsningsprosess

Gjenkjenne og beskrive

I dette undervisningsopplegget må elevene blant annet gjenkjenne bruk av kombinatorikk for å systematisere mulige gelékombinasjoner. Elevene må lage en matematisk modell som sørger for at de teller med alle gelékombinasjonene.

Bruke og bearbeide

Elevene må deretter bruke den matematiske modellen og bearbeide tallene slik at de kan brukes i modellen. For eksempel kan elevene lage en formel som forteller noe om antall mulige kombinasjoner. For å lage en slik matematisk modell må elevene se mønster og hente inn data ved å for eksempel ”prøve og feile”, slik at de kan tilpasse modellen så den gir svar på antall kombinasjoner.

Reflektere og vurdere

Når elevene har fått et matematisk svar på problemet må de vurdere om det gir et godt svar på det virkelige problemet. Er svaret matematisk riktig og gir løsningen svar på det virkelige problemet? Elevene må også reflektere om det matematiske svaret tar hensyn til andre ikke-matematisk faktorer som de selv mener er viktige. Det kan være faktorer som rekkefølge, smak og om det er estetisk pent.

Kommunisere

Elevene må presentere sine matematiske modeller eller idéer til hverandre og argumentere for hvorfor de mener modellene fungerer. De må diskutere og komme til enighet om hvilken matematisk modell de velger og bruke. Videre må elevene også kommunisere når de skal vurdere om den matematiske løsningen gir et godt svar på det virkelige problemet, og om hvilke ikke-matematiske faktorer elevene ønsker å ta hensyn til. 

Nettsiden MatteLIST, som er utviklet av Matematikksenteret, har mange aktiviteter som stiller store krav til elevene når det gjelder å gjenkjenne og beskrive, ved å utfordre elevene på deres forståelse av matematiske begreper.

Aktivitetene nedenfor dreier seg om elevenes tenkning om likninger, at symboler kan representere ukjente, og lar elevene reflektere over egne svar på samme måte som i oppgave 13 NP5 2022:

• Uoppstilte likninger
• Figur pluss figur  
• Figur ganger figur

Aktivitetene nedenfor utfordrer elevenes forståelse av gjennomsnittbegrepet, på lignende måte som i oppgave 16 NP8 2022: 

• For fattig og rik  
• Fjern et tall

 Her finner du flere MatteLIST-aktiviteter om gjennomsnitt (Mattelist.no)