Matematikk R2, Eksempeloppgave med CAS
Del 2, oppgave 6:
Oppgaven er hentet fra Eksempeloppgave. REA3024 Matematikk R2. Ny eksamensordning våren 2015.
En funksjon f er gitt ved
f(x) = ax2 + bx + c , Df = R
Et område er avgrenset av grafen til f og en rett linje. Skjæringspunktene mellom grafen til f og den rette lijen har x-koordinater p og q. Se skissen nedenfor.
Bruk CAS til å vise at arealet som er begrenset av grafen til f og den rette linjen bare er avhening av differansen p - q og a (eller differansen q - p og a).
Løsningsforslag
Last ned løsningsforslaget som PDF
Jeg bestemmer først likningen til den rette linja gjennom punktene (p, f(p)) og ((q, f(q)) på grafen til f. Denne linja kaller jeg g(x).
Deretter finner jeg det bestemte integralet mellom g(x) og f(x) mellom x = p og x = q.
Arealet mellom grafene avhenger kun av differansen p - q og a.
Kommentarer til løsningsforslaget
Denne oppgaven tester en del ferdigheter i CAS. Elevene må kunne skrive punkter på formen (p, f(p)). Videre må de kunne definere et objekt som de lager underveis som g(x):=.
| Framgangsmåte | Didaktiske refleksjoner |
|
Tenke ut en mulig løsningsvei |
Eleven må først tenke gjennom hvordan hun vil løse oppgaven. I denne fasen vil eleven ha nytte av å bruke papir og blyant sammen med CAS. Det er lurt å notere tankene i en kort tekst. |
|
Skrive funksjonen inn i CAS |
I GeoGebra er det nødvenidg å bruke notasjonen := til å definere funksjonen. Bare da kan f brukes i videre regning. |
|
Definere linjen som danner den andre grensen for arealet |
I oppgaven er det tegnet et linjestykke som begrenser arealet. For å finne arealet må vi finne likningen for linja gjennom de to punktene på grafen til f. Elevene har lett for å glemme noen parenteser når de skriver punkter (p, f(p)). For å finne arealet mellom linja og grafen, må vi jobbe med funksjoner. Vi velger derfor å definere linja som en funksjon g(x). GeoGebra-kommandoen HøyreSide gir oss høyre side av ligningen fra rad 2. |
|
Finne arealet mellom de to grafene |
De fleste elever vil antagelig foretrekke å beregne dette i to skritt slik vi har gjort ovenfor.Men det kan også gjøres ved å slå sammen kommandoene til: Faktoriser[IntegralMellom[f,g,p,q]]. |
Forslag til hvordan oppgaven kan brukes i undervisningen
Hvis man bruker denne oppgaven i undervisningen, vil det antakelig være en fordel å tegne grafen f(x) først i grafikkfeltet med glidere for a, b, c og |p - q|. Elevene vil da kunne flytte på gliderne eller på punktet A, og se at arealet kun endrer seg hvis man endrer a eller differansen mellom p og q.