Matematikk 1P. Eksamensoppgave med graftegner

Oppgaven ble gitt som eksamensoppgave i Matematikk 1P høst 2013 (Utdanningsdirektoratet, s. 21).

Del 2, oppgave 5

Funksjonen \(f\) gitt ved \[f(x)=3x^3-48x^2+162x+300\] viser hvor mange tonn fisk \(f(x)\) det var i en fiskebestand \(x\) år etter år 2000.

  1. Tegn grafen til \(f\) for \(0 \leq x \leq 10\).
  2. Når var fiskebestanden minst?

    Hvor mange tonn fisk var det i fiskebestanden da?
  3. Bestem skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og linjen med likning \(y=200\).

    Hva forteller koordinatene til dette punktet om fiskebestanden?
  4. Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i fiskebestanden per år i perioden 1. januar 2003 - 1. januar 2007? 

Vi har valgt å vise to forskjellige løsningsforslag. Etter vår vurdering bør begge forslag gi full uttelling, men alternativ II (eller en blanding av I og II) er antakelig enklere for mange elever.

Løsningsforslag I

graftegner7.PNG

  1. Grafen til \(f\) er tegnet på figuren over.
  2. Jeg bruker kommandoen Ekstremalpunkt[f], og får både topp- og bunnpunktet til grafen. På figuren vises bunnpunktet \(B=(8.57, 51.25)\) der fiskebestanden er minst.

    Fiskebestanden var minst i år 2008. Bestanden var da på 51 tonn.
  3. Jeg skriver y=200, og finner skjæringspunktet \(S=(5.91, 200)\) med grafen `f`.

    Fiskebestanden var på 200 tonn i slutten av 2005.
  4. Jeg skriver inn P=(3,f(3)) og Q=(7,f(7)), og tegner den rette linja \(b\) gjennom disse punktene. Av ligningen til linje `b` ser jeg at stigningstallet er -81.

    Det betyr at fiskebestanden i gjennomsnitt sank med 81 tonn per år fra 1. januar 2003 til 1. januar 2007.

Kommentarer I

Denne typen oppgave finnes på alle eksamener i Matematikk 1P. Erfaring viser at elever som er vant til å bruke graftegner, ofte vil lete seg fram til funksjonsoppgaven og løse den først.

Utsagn som «Jeg finner skjæringspunktet…», eller «Skjæringspunktet mellom linjene er…» kommuniserer godt. Det er unødvendig å gå i detalj om hvilken metode som er brukt, for eksempel: «Jeg finner skjæringspunktet mellom linjene med verktøyet «Skjæring mellom to objekt».

 

GeoGebra

Didaktiske refleksjoner

a)

f(x)= 3x^3-48x^2+162x+300

Funksjon[f,0,10]

Elevene starter med å skrive inn funksjonen \(f(x)\).

For å avgrense grafen til intervallet \(0\leq x \leq 10\), må man i GeoGebra bruke kommandoen Funksjon[f,0,10].

b)

Ekstremalpunkt[f]

Elevene må kjenne til begrepet ekstremalpunkt og klare å skille mellom maksimum og minimum. Tolking av svaret krever et tekstsvar.

c)

Tolkning av graf og skjæringspunkt

 

d)

Beregne gjennomsnittlig endring ved å se på stigningstallet til linja gjennom to punkter på grafen.

En elev som løser oppgaven på denne måten, viser høy kompetanse. 

Løsningsforslag II

graftegner8.PNG

  1. Grafen til \(f\) er tegnet på figuren over.
  2. Jeg bruker kommandoen Ekstremalpunkt[f], og får både topp- og bunnpunktet til grafen. På figuren vises bunnpunktet \(B=(8.57, 51.25)\) der fiskebestanden er minst.

    Fiskebestanden var minst i år 2008. Bestanden var da på 51 tonn.
  3. Jeg skriver y=200, og finner skjæringspunktet \(S=(5.91, 200)\) med grafen \(f\).

    Fiskebestanden var på 200 tonn i slutten av 2005.
  4. Jeg skriver x=3 og finner skjæringspunktet med grafen \(f\), \(P=(3, 435)\). Så skriver jeg x=7 og finner skjæringspunktet med grafen, \(Q=(7, 111)\). Jeg finner endringen i bestanden i løpet av disse 4 år: \(111-435 = -324\). Endringen per år er \(\frac{-324}{4}= -81\).

    Det betyr at fiskebestanden i gjennomsnitt sank med 81 tonn per år fra 1. januar 2003 til 1. januar 2007.

Kommentarer II

 

GeoGebra

Didaktiske refleksjoner

d)

Beregne gjennomsnitt

Mange elever vil antakelig bruke kalkulator til å beregne den gjennomsnittlige veksten.