Matematikk 2P: Eksempeloppgave med regneark 1

Del 2, oppgave 3

Oppgave a)-c) er hentet fra forslag til ny eksamensordning for MAT0010 Matematikk 10. årstrinn (2012, s. 16). Oppgave d) er laget av Matematikksenteret.

Pytagoreerne kjente til mange typer tall:

a) Fyll ut kolonne A, B og C i et regneark som vist ovenfor, slik at de første 20 naturlige tallene, kvadrattallene og rektangeltallene framkommer.

b) Bestem en formel for trekanttallene, og fyll ut kolonne D i regnearket. Summer alle kolonnene.

c) Hvilke tall får du dersom du summerer to påfølgende trekanttall? Vis med 3 eksempler.

d) Løs oppgave c) algebraisk.

Løsningsforslag

a) Se regneark.

b) Jeg laget en regresjonsanalyse av de trekanttallene som jeg kunne telle på oppgavearket.

Jeg brukte polynom 2 og fant formelen: `^y=0,5x^2+0,5x` som er det samme som `y=(x(x+1))/2`. Så satte jeg inn formelen i regnearket.

c) 3+6=9 10 + 15 = 25 45 + 55 = 100

Summen av to påfølgende trekanttall er et kvadrattall. Trekanttall n pluss trekanttall n+1 gir kvadrattall n+1.

d) Jeg løser oppgaven på papir.

Trekanttall n: `(n(n+1))/2`

Trekanttall n+1: `((n+1)(n+1+1))/2`

Summen av to påfølgende trekanttall:

`(n(n+1))/2 + ((n+1)(n+1+1))/2 = (n^2+n+n^2+n+n+n+1+1)/2=(2n^2+4n+2)/2=n^2+2n+1=(n+1)^2`

Kommentarer

Et digitalt hjelpemiddel kan hjelpe mange elever slik at de klarer flere og mer avanserte oppgaver. Regresjonsanalysen gir svaret på funksjonsform med x som variabel. Lavpresterende elever vil ha vanskeligheter med den algebraiske omformingen av uttrykket. For å løse oppgaven må de se at x tilsvarer rute A2, og deretter skrive inn uttrykket slik det fremkommer i analysen.

Det er også mulig å finne en formel for trekanttallene ved å bruke observasjon, for eksempel ved å se at trekanttallene er halvparten av rektangeltallene. Formelen for trekanttallene vil derfor være:`("Formel for rektangeltall")/2=(n(n+1))/2`

Ved å høyreklikke inne i regresjonsanalysevinduet kan grafen overføres til grafikkfeltet. Det kan være nyttig i mange sammenhenger.

	GeoGebra	Didaktiske refleksjoner
a)	Fyll ut tabellen som vist i oppgaveteksten.	De fleste elever vil ikke ha vanskeligheter med å finne en formel for kvadrattallene. Formelen for rektangeltall er vanskeligere. Den kan gjerne finnes på tilsvarende måte som trekanttall.
b)	Begynn på et nytt regneark eller fortsett i samme. Marker D2-D5, hold inne Ctrl og marker A2-A5. Bruk verktøyknappen «Regresjonsanalyse» og analyser. Elevene ser at det lineæret uttrykket ikke passer. De finner formelen med hjelp av polynom og 2. grad.	Oppgaven er vanskelig for mange elever. De fleste vil klare å finne det neste trekanttall. De ser mønsteret, men det å omforme et mønster til en algebraisk formel er vanskelig. GeoGebra gjør det lettere å løse slike modelleringer. Derfor er det er viktig at elevene blir kjent med verktøyet. Mange elever vil komme mye lenger matematisk, og i tillegg sparer de tid. Eleven vil først teste om der finnes en lineær sammenheng. Neste mulighet er polynom 2. grad, som fører fram. Det er viktig at elever lærer å tolke uttrykket som de kommer fram til. Ved å overføre bildet til grafikkfeltet kan de bruke grafen til å finne andre svar. F.eks det 100. trekanttall Formelutskrift på Geogebra er Ctrl + D.
c)	Testing på papir eller regneark.	Her vil nok de fleste elever skrive svaret på ark.
d)	Løses på papir eller med CAS.	Oppgaven krever en del algebra. Elevene kan løse oppgaven med CAS (se løsning nedenfor), men det er ikke obligatorisk å kunne bruke det verktøyet.

Oppgave d) løst med CAS

Siden linje 6 og linje 8 er like, er Trekantall n + Trekanttall n+1 = Kvadrattall n+1.